解法 2：由M→P＝21M→N得 P 为 MN 中点，由中点坐标公式得.
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第六章 平面向量及其应用
题型二 向量平行(共线)的判定
数学（必修·第二册RJA）
典例 2 (1)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 ( B ) A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝12，－34 (2)已知 a＝(2,1)，b＝(3，－4)，当 λ 为何值时，λa－b 与 a＋2b 平行？ 平行时，它们是同向还是反向？
若 a＝( 3，cos α)，b＝(3，sin α)，且 a∥b，则锐
角 α＝___3__.
[解析] ∵a＝( 3，cos α)，b＝(3，sin α)，a∥b，
∴ 3sin α－3cos α＝0，即 tan α＝ 3，
又 0<α<π2，故 α＝π3.
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第六章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
∵P、A、C 三点共线，∴A→P∥A→C.∴6(x－4)＋2y＝0．
由46xx－－44y＝＋02，y＝0， 得xy＝ ＝33， .
∴点 P 的坐标为(3,3).
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第六章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
[归纳提升] 应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤： 首先分析题意，将题目中有关的点坐标化，线段向量化，再利用题 目条件，寻找向量关系，列出方程(组)求出有关变量，最后回归到几何 问题中.
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第六章 平面向量及其应用
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知识点1 平面向量数乘运算的坐标表示
设向量a＝(x，y)，则有λa＝__(λ_x_，__λ_y_)___，这就是说实数与向量的 积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
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第六章 平面向量及其应用
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知识点2 平面向量共线的坐标表示
[解析] (1)证明：∵A→B＝O→B－O→A＝(4,8)，A→C＝O→C－O→A＝(6,12)，
∴A→C＝32A→B，即A→B与A→C共线. 又∵A→B与A→C有公共点 A，∴A，B，C 三点共线.
(2)若 A，B，C 三点共线，则A→B，A→C共线，
∵A→B＝O→B－O→A＝(4－k，－7)，A→C＝O→C－O→A＝(10－k，k－12)，
[解析] A→B＝O→B－O→A＝(1－k,2k－2)，A→C＝O→C－O→A＝(1－2k，－3)， 由题意可知A→B∥A→C，所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0， 解得 k＝－14(k＝1 不合题意舍去).
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第六章 平面向量及其应用
题型四 向量法在解析几何中的应用
数学（必修·第二册RJA）
∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0．
解得 k＝－2 或 k＝11．
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[归纳提升] 若已知三点的坐标，判断其是否共线可采用以下两种方 法：
①直接利用上述条件，计算(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)·(y2－y1)是否为 0；
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第六章 平面向量及其应用
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[解析] (1)A 中向量 e1 为零向量，∴e1∥e2；C 中 e1＝21e2， ∴e1∥e2；D 中 e1＝4e2，∴e1∥e2，故选 B． (2)λa－b＝λ(2,1)－(3，－4)＝(2λ，λ)－(3，－4)＝(2λ－3，λ＋4)， a＋2b＝(2,1)＋2(3，－4)＝(2,1)＋(6，－8)＝(8，－7)，
第六章
平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
素养目标·定方向 必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
第六章 平面向量及其应用
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素养目标·定方向
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第六章 平面向量及其应用
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【对点练习】❶ (1)已知向量 a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，若 c 满足
3a－2b＋c＝0，则 c＝
(A )
A．(－23，－12)
B．(23,12)
C．(7,0)
D．(－7,0)
(2)已知 M(3，－2)，N(－5，－1)，M→P＝12M→N，则 P 点坐标为_－__1_，__－__23_ .
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易错警示 处理向量共线时，忽视零向量的特殊情况
典例 5 已知a＝(3,2－m)与b＝(m，－m)平行，求m的值. [错解] 由题意，得m3 ＝2－－mm，解得 m＝5． [错因分析] 本题中，当 m＝0 时，b＝0，显然 a∥b 成立.错解中利 用坐标比例形式判断向量共线的前提是 m·(－m)≠0，漏掉了 m＝0 这种 情况.
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数学（必修·第二册RJA）
∵(λa－b)∥(a＋2b)， ∴8(λ＋4)＋7(2λ－3)＝0⇒22λ＋11＝0⇒λ＝－12. ∴－12a－b＝(－12×2－3，－12＋4)＝(－4，27)， 即 λa－b＝－21(a＋2b). 故当 λ＝－12时，λa－b 与 a＋2b 平行；平行时它们反向.
题型三 三点共线的判定及应用 典例 3 (1)已知O→A＝(3,4)，O→B＝(7,12)，O→C＝(9,16)，求证：A，B，
C 三点共线； (2)设向量O→A＝(k,12)，O→B＝(4,5)，O→C＝(10，k)，当 k 为何值时，A，
B，C 三点共线？
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(3)当 x2y2≠0 时，xx12＝yy12. 即两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐 标表示，而且不易出现搭配错误.
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关键能力·攻重难
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第六章 平面向量及其应用
标为(x，y)，则yx＝＝yx11＋＋22 yx22，，
此公式为线段 P1P2 的中点坐标公式.
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[知识解读] 两个向量共线条件的三种表示方法 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). (1)当b≠0时，a＝λb. 这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系. (2)x1y2－x2y1＝0． 这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数 “λ”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点和 程序化的特征.
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[正解] ∵a∥b，∴3(－m)－(2－m)m＝0，解得m＝0或m＝5． [误区警示] 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a 与 b 共线的条件为 x1y2 －x2y1＝0．要注意此条件与条件xx12＝yy21的区别，应用xx12＝yy12时，分母应不 为零.
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【对点练习】❹ 已知两点 A(3，－4)，B(－9,2)，在直线 AB 上求一 点 P，使A→P＝13A→B.
[解析] 设点 P(x，y)，则 A→P＝(x－3，y＋4)，A→B＝(－12,6)， ∴(x－3，y＋4)＝31(－12,6)＝(－4,2)， 即xy－＋34＝＝－2，4， ∴xy＝＝－－12，， ∴P(－1，－2).
典例 4 已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求直线AC与OB交点P 的坐标.
[分析] (1)AC与OB相交于点P，则必有O， P，B三点共线和A，P，C三点共线；(2)根据O， P，B三点共线可得到点P坐标应满足的关系，再 根据A，P，C三点共线即可求得点P坐标.
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题型探究
题型一 向量的坐标运算 典例 1 已知 a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：
(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)12a－13b. [分析] 可先进行数乘向量的坐标运算，再进行向量坐标加减运算.
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数学（必修·第二册RJA）
[解析] (1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7). (2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1). (3)21a－13b＝12(－1,2)－13(2,1)＝－12，1－23，13＝－76，23. [归纳提升] 向量的坐标运算主要是利用加、减运算法则及数乘运 算进行，解题时要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
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课堂检测·固双基
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素养作业·提技能
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数学（必修·第二册RJA）
[解析] (1)由 3a－2b＋c＝0，∴c＝－3a＋2b＝－3(5,2)＋2(－4，－ 3)＝(－23，－12)，∴c＝(－23，－12).
(2)解法 1：设 P(x，y)，∴M→P＝(x－3，y＋2)，M→N＝(－8，1)，由M→P ＝12M→N得 P－1，－32.
素养目标
学法指导
1．理解数乘向量的坐标运算和 数乘运算的结果仍然是向量，所以数乘