2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1.向量加法三角形法则: 特点:首尾顺次连，起点 指终点
C
2.向量加法平行四边形法则:
特点:起点相同,对角为和
B
a
a b b
ab
A
b
C
b
A
a
B
O
a
3.向量减法三角形法则:
特点：平移同起点，方向指被减
a
b
b
B
O
a
BA a b
A
作一作，看成果
已知非零向量 a ,作出 a a a ,你能发现什么？ a 3a与 a 方向相同 a a a O 3a 即 3a A C B 3a
(a) (a) (a) 类比上述结论，
a
3(2a )
b a
2(a b ) 2a 2b
3(2a ) = 6 a
a b
2a 2b
2b
2a
向量的数乘运算满足如下运算律：
，是实数，
（1）（ a ) ( )a;


(2)( )a a a; (3) ( a b ) a b .
(3)(2a 3b c ) (3a 2b c )
a 5b 2c
书本P90,练习5
练一练:
思考:
(1)若b a(a 0),则a, b位置关系如何 ?
b // a
成立
(2)若b // a(a 0),则b a是否成立?
共线定理 (a≠0)
b=λa
向量a与b共线
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 且有公共点Ｂ 3. 证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD
A,B,C三点共线
AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
书本P91，A组，9,10
a
a
a
N
M
Q
P
3a
又如何呢？ 方向相反 3a 与 a 即 3a 3 a
一般地，我们规定实数λ 与向量 a 的积是一个向量， 这种运算叫做向量的数乘，记作 a ，它的长度和方向
规定如下：
（1）
| a || || a |;
的方向相同； 的方向相反。
C E
AE AD DE 解：
A B D
3AB 3BC
3 AB BC


3 AC
∴ AC 与 AE 共线．
例3.如图，已知任意两个向量 a、 b ，试作OA a b, OB a 2b, OC a 3b. 你能判断A、B、C三点之
例5.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且
b 来表示MA AB a, AD b ，你能用 a 、 、 MB、 MC 和 MD
D M C
。
b
A
a
B
练一练: 书本P92,11题
C
D
① ② ④
间的位置关系吗？为什么？
C
a
b
3b 2b b
B
A
a
O
总结:
证明三点共线的方法:
AB=λBC
且有公共点Ｂ
A,B,C三点共线
已知两个非零向量e1和e2不共线，如果 AB 2e1 3e2， BC 6e1 23e2， CD 4e1 8e2， 求证 : A、B、D三点共线.
设 e , e 是两个不共线的向量， AB 2e ke , CB e 3e , 1 2 1 2 1 2 ，若 A 、 B 、 D 三点共线，求 k 的值 . CD 2e1 e2
B组,3
（2）当 0时， 的方向与 a a 当 0时， a 的方向与 a
特别的，当 0 时， a 0.
练一练: 书本P90,练习2,3
(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为非零向量)，并进行比较。 (2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b， 并进行比较。
向量共线定理：
向量a (a 0)与b共线, 当且仅当有唯一一个实数 , 使b a.
即a与b共线
b a (a 0)
思考:1) a 为什么要是非零向量?
2) b 可以是零向量吗?
练一练:
书本P90,练习4
例2 如图，已知AD=3AB，DE=3BC， 试判断AC与AE是否共线。
特别地:（ ） a a a b a b










向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算
例1、计算下列各式
(1)(3) 4a 12a (2)3(a b ) 2(a b ) a 5b