莆田学院数学与应用数学系“高等代数选讲”课程论文题目:复矩阵若当标准形的性质与应用姓名:廉换霞学号:410401143莆田学院数学与应用数学系数学与应用数学专业2004级2007年6 月 25 日复矩阵若当标准形的性质与应用数本041 廉换霞 410401143摘要:若当标准形有广泛的应用。
本文首先给出了若当形矩阵的定义和若当标准形的一些性质及相关例题。
然后讲到其应用。
若当标准形在“矩阵分解论”、“矩阵方程论”,在解线性递推关系式等等中都有它的应用,我们通过一些例题来说明。
最后,利用若当标准形的性质给出了哈密尔顿——凯莱定理的另一种证法。
关键词:若当形矩阵 若当标准形 初等因子 可逆阵 哈密尔顿——凯莱定理一、 定义及性质1、若当形矩阵的定义 形式为1(,)1t tJ t λλλλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 的矩阵称为若当块,其中λ是复数。
由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵。
特别地一级若当块就是一级矩阵,因此若当形矩阵包括对角矩阵。
2、若当标准形的性质性质一 若当形矩阵除去其中若当块排列次序外,被它的初等因子惟一决定。
此性质可用于求矩阵的若当标准形。
例1 求矩阵126103114A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭的若当标准形解:首先求E A λ-的初等因子2221260132100130110111141140132100100011010002100(1)E A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫+--+-+-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=-→--+→--+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---+-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--+→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭因此,A 的初等因子是1λ-,2(1)λ-,A 的若当标准形是100010011J ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭性质二 一个若当形矩阵的全部初等因子就是它的全部若当块的初等因子的汇集。
例2、设复准对角12S A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中i A 是i n 阶方阵,1,2,,i s = 。
证明:A 的初等因子是各个i A (1,2,,i s = )初等因子的汇集。
证明:因对于各个子块i A ,都有i n 阶可逆矩阵i Q ,使得11,2,,i i i iQ AQ J i s -==这里i J 是i A 的若当标准形,令12S Q Q Q Q ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则Q 是n 阶可逆矩阵,且121S J J Q AQ J J -⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭由若当标准形的唯一性,J 是A 的若当标准形,每个i J 就是J 的若当块,由性质二,J 的初等因子是个各个()1,2,,iJ i s = 初等因子的汇集。
因为i iA J A J ,相似矩阵有相同的初等因子,所以A 的初等因子是各个()1,2,,i A i s = 初等因子的汇集。
性质三 每个n 级的复数矩阵A 都与一个若当矩阵相似,这个若当矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵唯一决定的,它称为A 的若当标准形。
此性质在解题中有广泛的应用。
例3、证明任意n 级复矩阵A 与它的转置'A 相似。
证明:由性质3,存在可逆矩阵P 使得()()()12121r t t t r J J P AP J λλλ-⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭故()()()12121r t t t r J J A P P J λλλ-⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭令111n E ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则2n E E = ,所以1nn E E -=()()1'1111111i i i iiin t i nt iii E J E J λλλλλλλλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得()()()1''1,2,,i i i t i n t i n n t i n J E J E E J E i r λλλ-===所以()()()()()()1212'1'21'''121''1'1''1'()()()()()r r t t t r t t n n t r n n n n J J A P PJ J J P E E P J P E P AP E P P E P A P E P λλλλλλ-----⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭==故'A A例4、证明:n 级复矩阵A 的n 个特征值是1,,n λλ ,则对于任一复系数多项式()g λ,矩阵A 的多项式()g A 的n 个特征值是1(),,()n g g λλ证明:设()10m m g a a a λλλ=+++ ,则()10m m g A a A a A a E =+++ 。
由于性质三,存在可逆阵P ,使得121n P AP λλλ-⎛⎫⎪⎪= ⎪* ⎪⎝⎭于是()()()11101110101221012()()()()m m mm m mm m n n n P g A P P a A a A a E P a P AP a P AP a Ea a a a a g g g λλλλλλλλλ----=+++=+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪** ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎪= ⎪* ⎪⎝⎭由于相似矩阵具有相同的特征值,故()g A 的特征值是1(),,()n g g λλ 。
补充 可逆阵P 的求法由性质三,对任意n 级复矩阵A 都存在一个可逆阵P ,使得()11P AP J-=由()1可知()()122s AP PJ Pdiag J J J == ,,,把变换矩阵P 按若当块i J 的阶数i n 进行相应的分块,即记()12s P P P P = ,,,,其中i i n n i P C ⨯∈,因此()()()121212s s s A P P P P P P diag J J J = ,,,,,,,,,故()()121122,s s s AP AP AP P J P J P J = ,,,,, 比较上式两端,得()1,2,,3i i iAP PJ i s==对i P 按列分块()12,,n ii i i i P X X X = ,其中12,,n ii i i X X X 是i n 个线性无关的n 维列向量,代入()3可得()112223114n n ni i i n ni i i i i i i i i ii i i i i i i AX X X AX X X AXX X AX Xλλλλ--⎧=+⎪⎪=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎪=⎪⎩由最后一个方程看到,列向量n ii X 是矩阵A 的特征值为i λ所对应的特征向量,且由n ii X 继而可求得211,,,n i i i i X X X - ,因此,矩阵i P 以至P 都可求得。
但需要注意的是:特征向量n ii X 的选取要保证1n i i X -可以求出,类似地1n i i X -的选取也要保证2n i i X -可以求出,如此等等。
例5、已知126103114A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭求A 的若当标准形和可逆矩阵P ,使1P AP J -=。
解:先求A 的初等因子()222126114131311412611411401101101320021100010001E A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→--+→--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+--+-⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭所以A 的初等因子为()21,1λλ--A 的若当标准形11011J ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭于是存在33P C ⨯∈,满足AP PJ =,令()123,,P X X X = ,得()()1231231,,,,1011AX AX AX X X X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭比较上式两边,得:1122333,,AX X AX X X AX X ==+= 即()()()12330,,0E A X E A X X E A X -=-=--=由此可见,1X ,3X 是A 的特征值为1的两个线性无关的特征向量,解方程组()0E A X -= ,可求得两个线性无关的特征向量为()'1,1,0ξ=-,()'3,0,1η=,取1X ξ=,但不能简单地取3X η=,因为3X 还要保证非齐次线性方程组()23E A X X -=-有解。
因此,选取1X ξ=,312X k k ξη=+,其中12,k k 要保证1X 与3X 线性无关,且使得()23E A X X -=-有解。
因()'31212123,,X k k k k k k ξη=+=-+,即选取12,k k ,使方程组()1122213323226113113x k k E A X x k X x k -⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 有解。
不难知,当12k k =时,方程组有解,且其解为12313x x x k =-+-1k 为非零任意常数,取11k =,这时得:()()''322,1,1,2,0,1X X ==于是122101011P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 容易验证111011P AP -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭性质四 n 级若当块()1,1a a J a k a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的最小多项式为()kx a -。
性质五 设ϕ是复数域上n 维线性空间V 的线性变换,在V 中必定存在一组基,使ϕ在这组基下的矩阵是若当形的,并且这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被ϕ唯一决定的。
性质六 设ϕ是复数域上n 维线性空间V 的线性变换,()()()1212,,,k rr r k λλλλλλ--- 是ϕ的初等因子组,则V 可分解为k 个不变子空间的直和:12k V V V V ∙∙∙=+++其中i V 的维数等于i r 。
证明:设V 是n 维复线性空间,ϕ是V 上的线性变换。
设ϕ的初等因子组为()()()1212,,,kr r r k λλλλλλ---则性质五告诉我们,存在V 的一组基1,,{}i i n e = ,在这组基下ϕ的表示矩阵为12k J J J J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭上式中每个i J 是相应与初等因子()ir i λλ-的若当块,其阶正好为i r ,令1V 是由基元11,,r e e 生成的子空间,则()()11111111,,,,1r re e e e λλϕλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭即()()()()11111111221231111r r rr r e e e e e e e e e e eϕλϕλϕλϕλ--=+=+=+=这表示()11V V ϕ⊆,即1V 是ϕ的不变子空间。