2018届高三文科数学培优资料（一）圆锥曲线的方程与性质一、知识整合圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称椭圆双曲线抛物线定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a(2a ＞|F 1F 2|) ||PF 1|－|PF 2|| ＝2a (2a ＜|F 1F 2|) |PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) y 2＝2px (p ＞0)图形几何性质范围 |x |≤a ，|y |≤b |x |≥a x ≥0 顶点 (±a,0)(0，±b )(±a,0)(0,0)对称性 关于x 轴，y 轴和原点对称关于x 轴对称焦点(±c,0)(p2，0) 轴长轴长2a ，短轴长2b 实轴长2a ，虚轴长2b离心率e ＝c a＝ 1－b 2a 2 (0＜e ＜1)e ＝c a ＝ 1＋b 2a2(e ＞1) e ＝1准线x ＝－p 2渐近线y ＝±b ax通径焦点 三角形二、真题感悟：1． (全国Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x 答案 C解析 由题意知：F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p2，则由抛物线的定义知，x M＝5－p2，设以MF 为直径的圆的圆心为⎝⎛⎭⎫52，y M 2，所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －522＋⎝⎛⎭⎫y －y M 22＝254，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ⎝⎛⎭⎫5－p 2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ，故选C.2． (全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x答案 C解析 由e ＝c a ＝52知，a ＝2k ，c ＝5k (k ∈R ＋)，由b 2＝c 2－a 2＝k 2知b ＝k .所以b a ＝12.即渐近线方程为y ＝±12x .故选C.3． (山东)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p 等于( )A.316B.38C.233D.433 答案 D解析 抛物线C 1的标准方程为：x 2＝2py ，其焦点F 为⎝⎛⎭⎫0，p2，双曲线C 2的右焦点F ′为(2,0)，渐近线方程为：y ＝±33x .由y ′＝1p x ＝33得x ＝33p ，故M ⎝⎛⎭⎫33p ，p6.由F 、F ′、M 三点共线得p ＝433.4． (福建)椭圆Г：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Г的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于 ________． 答案 3－1解析 由直线方程为y ＝3(x ＋c )， 知∠MF 1F 2＝60°，又∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1， 所以∠MF 2F 1＝30°，MF 1⊥MF 2， 所以|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a .即e ＝ca＝3－1.5． (浙江)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________． 答案 ±1解析 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、Q (x 0，y 0)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)y 2＝4x.化简得：k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，∴x 1＋x 2＝4－2k 2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2＋2)＝4k .∴x 0＝2－k 2k 2，y 0＝2k .由(x 0－1)2＋(y 0－0)2＝2得：⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2k 2k 22＋⎝⎛⎭⎫2k 2＝4.∴k ＝±1.三、题型整合题型一 圆锥曲线的定义与标准方程例1 (1)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为 __________．(2)已知P 为椭圆x 24＋y 2＝1和双曲线x 2－y 22＝1的一个交点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，那么∠F 1PF 2的余弦值为________．审题破题(1)根据椭圆定义，△ABF 2的周长＝4a ，又e ＝22可求方程；(2)在焦点△F 1PF 2中使用余弦定理．答案：(1)x 216＋y 28＝1 (2)－13解析：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，由e ＝22知c a ＝22，故b 2a 2＝12. 由于△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，故a ＝4. ∴b 2＝8.∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.(2)由椭圆和双曲线的方程可知，F 1，F 2为它们的公共焦点，不妨设|PF 1|>|PF 2|，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝4|PF 1|－|PF 2|＝2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝3|PF 2|＝1.又|F 1F 2|＝23，由余弦定理可知cos ∠F 1PF 2＝－13.反思归纳：圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础．因此，对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF 1|＋|PF 2|>|F 1F 2|，双曲线的定义中要求||PF 1|－|PF 2||<|F 1F 2|.变式训练1 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点F 1，F 2，M 为双曲线上一点，且满足∠F 1MF 2＝90°，点M 到x 轴的距离为72.若△F 1MF 2的面积为14，则双曲线的渐近线方程为__________．答案 y ＝±7x解析：由题意得12·2c ·72＝14，所以c ＝4.又⎩⎪⎨⎪⎧||MF 1|－|MF 2||＝2a ，|MF 1|2＋|MF 2|2＝82，12·|MF 1|·|MF 2|＝14.所以a ＝2，b ＝14.所以渐近线方程为y ＝±7x .(2)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________． 答案：y 2＝±8x解析：抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，令x ＝0得y ＝－a 2.∴△OAF 的面积为12×⎪⎪⎪⎪a 4×⎪⎪⎪⎪－a 2＝4， ∴a 2＝64，∴a ＝±8.∴抛物线方程为y 2＝±8x . 题型二 圆锥曲线的性质例2(1)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．8(2)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于( ) A.12或32 B.23或2 C.12或2 D.23或32审题破题(1)利用抛物线的几何性质结合方程组求解；(2)由于已知圆锥曲线的两个焦点，所以该圆锥曲线为椭圆或双曲线，再由离心率的定义即可求解． 答案 (1)C (2)A解析：(1)设C ：x 2a 2－y 2a2＝1.∵抛物线y 2＝16x 的准线为x ＝－4，联立x 2a 2－y 2a 2＝1和x ＝－4得A (－4，16－a 2)，B (－4，－16－a 2)，∴|AB |＝216－a 2＝43，∴a ＝2，∴2a ＝4.∴C 的实轴长为4.(2)当曲线C 为椭圆时，e ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝34＋2＝12；当曲线C 为双曲线时，e ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝34－2＝32.反思归纳(1)求椭圆或双曲线的离心率的方法：①直接求出a 和c ，代入e ＝ca；②建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，然后把b 用a ，c 代换．通过解关于ca 的方程或不等式求得离心率的值或范围．(2)研究圆锥曲线的几何性质，实质是求参数a 、b 、c 或者建立a 、b 、c 的关系式(等式或不等式)，然后根据概念讨论相应的几何性质．变式训练2：(1)已知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以OF 为直径作圆与双曲线的渐近线交于异于原点的两点A ，B ，若(AO →＋AF →)·OF →＝0，则双曲线的离心率e 为( )A ．2B ．3 C. 2 D. 3 答案 C解析 如图，设OF 的中点为T ，由(AO →＋AF →)·OF →＝0可知AT ⊥OF ，又A 在以OF 为直径的圆上，∴A ⎝⎛⎭⎫c 2，c 2，又A 在直线y ＝ba x 上，∴a ＝b ，∴e ＝ 2.(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5 答案 B解析 由⎩⎨⎧y ＝b a x x ＝－p 2，解得⎩⎨⎧y ＝－bp 2a x ＝－p 2，由题意得⎩⎨⎧ －bp 2a＝－1－p 2＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12p ＝4，又知p2＋a ＝4，故a ＝2，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝5，∴焦距2c ＝2 5.题型三直线与圆锥曲线的位置关系例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A ，B两点．当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为22.(1)求a 、b 的值；(2)C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP →＝OA →＋OB →成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由．审题破题：(1)由直线l 的斜率为1过焦点F ，原点O 到l 的距离为22可求解；(2)需分直线l 的斜率存在或不存在两种情况讨论．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由条件OP →＝OA →＋OB →可得P 点坐标，结合A 、B 、P 在椭圆上列等式消元求解．解 (1)设F (c,0)，当l 的斜率为1时，其方程为x －y －c ＝0，O 到l 的距离为|0－0－c |2＝c 2，故c 2＝22，c ＝1. 由e ＝c a ＝33，得a ＝3，b ＝a 2－c 2＝ 2.(2)C 上存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP →＝OA →＋OB →成立． 由(1)知C 的方程为2x 2＋3y 2＝6.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(ⅰ)当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y ＝k (x －1)．C 上的点P 使OP →＝OA →＋OB →成立的充要条件是P 点坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，且2(x 1＋x 2)2＋3(y 1＋y 2)2＝6，整理得2x 21＋3y 21＋2x 22＋3y 22＋4x 1x 2＋6y 1y 2＝6，又A 、B 在椭圆C 上，即2x 21＋3y 21＝6,2x 22＋3y 22＝6，故2x 1x 2＋3y 1y 2＋3＝0.①将y ＝k (x －1)代入2x 2＋3y 2＝6，并化简得 (2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0， 于是x 1＋x 2＝6k 22＋3k 2，x 1·x 2＝3k 2－62＋3k 2，y 1·y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝－4k 22＋3k 2.代入①解得k 2＝2，此时x 1＋x 2＝32.于是y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－k2，即P ⎝⎛⎭⎫32，－k 2. 因此，当k ＝－2时，P ⎝⎛⎭⎫32，22，l 的方程为2x ＋y －2＝0；当k ＝2时，P ⎝⎛⎭⎫32，－22，l 的方程为2x －y －2＝0.(ⅱ)当l 垂直于x 轴时，由OA →＋OB →＝(2,0)知，C 上不存在点P 使OP →＝OA →＋OB →成立． 综上，C 上存在点P ⎝⎛⎭⎫32，±22使OP →＝OA →＋OB →成立，此时l 的方程为2x ±y －2＝0.反思归纳：解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤： (1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零)； (3)应用根与系数的关系及判别式；(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解．变式训练3 (浙江)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D . (1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)． 由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ， 则直线l 1的方程为y ＝kx －1.又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离d ＝1k 2＋1，所以|AB |＝24－d 2＝24k 2＋3k 2＋1.又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4.消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0， 故x 0＝－8k 4＋k 2.所以|PD |＝8k 2＋14＋k2. 设△ABD 的面积为S ，则S ＝12·|AB |·|PD |＝84k 2＋34＋k 2，所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝161313，当且仅当k ＝±102时取等号．所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1. 四、小题冲关： 1． (·四川)抛物线y 2＝4x的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( ) A.12 B.32 C ．1 D.3 答案：B解析：抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线是y ＝±3x ，即3x ±y ＝0，∴所求距离为|3±0|(3)2＋(±1)2＝32.选B.2． (湖北)已知0＜θ<π4 ，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等 答案：D解析：双曲线C 1：e ＝sin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝1cos 2θ， 双曲线C 2：e ＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin 2θ＝1＋tan 2θ＝1cos 2θ， ∴C 1，C 2离心率相等．3． 已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，2 B ．(1，＋∞) C ．(1,2) D ．⎝⎛⎭⎫12，1 答案：C解析：由题意可得，2k －1>2－k >0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>2－k ，2－k >0，解得1<k <2，故选C.4． (江西)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A 、B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________. 答案：6解析：因为△ABF 为等边三角形，所以由题意知B ⎝⎛⎭⎫p 3，－p 2，代入方程x 23－y 23＝1得p ＝6.5． (·湖南)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a 且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线C 的离心率为______． 答案 3解析 不妨设|PF 1|>|PF 2|， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又∵|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a . 又在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，由正弦定理得，∠PF 2F 1＝90°，∴|F 1F 2|＝23a ，∴双曲线C 的离心率e ＝23a 2a ＝ 3.6． (辽宁)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.答案57解析 如图，在△ABF 中，|AB |＝10，|AF |＝6，且cos ∠ABF ＝45，设|BF |＝m ，由余弦定理，得62＝102＋m 2－20m ·45，∴m 2－16m ＋64＝0，∴m＝8.因此|BF |＝8，AF ⊥BF ，c ＝|OF |＝12|AB |＝5.设椭圆右焦点为F ′，连接BF ′，AF ′，由对称性，|BF ′|＝|AF |＝6，∴2a ＝|BF |＋|BF ′|＝14.∴a ＝7，因此离心率e ＝c a ＝57.四、大题突破1.（安徽)如图，F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°. (1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．解 (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)方法一 a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程为 y ＝－3(x －c )，将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝⎛⎭⎫85c ，－335c ，所以|AB |＝1＋3·⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |·sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.方法二 设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ， 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得，t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝40 3知，a ＝10，b ＝5 3.2．(·课标全国Ⅱ)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y－3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 21a 2＋y 21b 2＝1① x 22a 2＋y 22b2＝1② ①－②，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0.因为y 1－y 2x 1－x 2＝－1，设P (x 0，y 0)，因为P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，所以y 0＝12x 0，即y 1＋y 2＝12(x 1＋x 2)．所以可以解得a 2＝2b 2，即a 2＝2(a 2－c 2)，即a 2＝2c 2， 又因为c ＝3，所以a 2＝6，所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)因为CD ⊥AB ，直线AB 方程为x ＋y －3＝0， 所以设直线CD 方程为y ＝x ＋m ，将x ＋y －3＝0代入x 26＋y 23＝1得：3x 2－43x ＝0，即A (0，3)，B ⎝⎛⎭⎫433，－33， 所以可得|AB |＝463；将y ＝x ＋m 代入x 26＋y 23＝1得：3x 2＋4mx ＋2m 2－6＝0， 设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)， 则|CD |＝2(x 3＋x 4)2－4x 3x 4＝22318－2m 2，又因为Δ＝16m 2－12(2m 2－6)>0，即－3<m <3，所以当m ＝0时，|CD |取得最大值4，所以四边形ACBD 面积的最大值为12|AB |·|CD |＝86. 3。