《函数的基本性质习题课》教学设计
1.复习函数的基本性质一单调性、最大（小）值、奇偶性，构建函数性质的知识结构.
2.能应用数形结合、函数与方程、化归与转化的思想进行运算求解、推理论证，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养.
♦教学重难点
教学重点：理解函数的基本性质，应用函数的性质进行运算求解、推理论证.
教学难点：应用函数的性质进行运算求解、推理论证.
♦课前准备
用软件制作动画；PPT课件.
一、复习导入
问题1：请同学们梳理第3. 2节（课本P76〜P85）的内容，回答以下几个问题：
（1）函数的基本性质有哪些？你能依次从图象特征和代数符号的角度叙述这些性质吗？
（2）你能说说研究函数的性质的方法吗？
师生活动：学生先独立阅读思考，老师根据学生的回答补充.
预设的答案：（1）的答案见表1：
表1中，函数y=f{x)的定义域为1,区间DJ I.
(2)先观察具体函数图象，分析图象特征，形成对函数性质的感性认识；再结合解析式从代数的角度定量刻画函数性质，抽象出一般概念；最后应用概念分析解决问题.
设计意图：通过复习帮助学生梳理学习方法，构建函数基本性质的知识结构.
引语：我们在第3. 2节主要学习了三种函数性质，本节课我们一起来深入体会这些性质的作用•(板书：函数的基本性质习题课)
二、新知探究
1.单调性的应用
例1 (习题3.2 P86第8题)
9
(1)根据函数单调性的定义证明函数在区间(3, +8)上单调递增；
9
(2)讨论函数在区间(0, +°°)上的单调性；
k
(3)讨论函数>=》+?(左>0)在区间(0, +8)上的单调性.
师生活动：学生回忆单调性的探究思路，老师在学生回答的基础上进行补充.
预设的答案：
(1 )证明：Vxi,工2仁(3, + °°),且X1<X2,有
yi-j2= 3+W)-(炬+自=Cri-A2)+ A1 人2 入1 人2
/ 、. 9(x2—X1) / 、9(X1—X2)/ 、/. 9 \ / 、/%1%2一
9、
—U1 —X2)十——W—X2)―—— U1 —X2)— U1 —X2)\ ~~~-)
X\X2 X\X2 X\X2 X\X2由xi,互£ (3, +8),得xi>3, X2>3,所以由尤2>9, xiX2—9>0.
—9
由Xi<X2,得由一尤2<0,于是(X1—X2)( ) <0,即yiV》2.
9
所以，函数y=x+g在区间(3, +8)上的单调递增.
9
(2)当尤i, (0, 3)时，xiX2—9<0,则>1一、2>0,即所以y=%+?在区间
9
(0, 3)上单调递减.综上，>=尤+三在区间(0, 3)上单调递减，在区间(3, +°°)上单调递增.
(3)
函数y=x+* (^>0)在区间(0,乖］上单调递减，在区间［衣，+8)上单调递增.
追问1：判断函数尸x+*Q0)在区间(0, +8)上是否存在最值并说明理由；(根据函数y=x+~ (k>。

)的单调性，可知该函数在工=寸处取到最小值，最小值为2、住，无最大值.)
k 追问2：函数(^>0)在区间［2, 3］上具有单调性，求k的取值范围；
(由该
函数的单调性可知：3Wy［lc或2R,解得：Q9或0VkW4,所以k的取值范围为(0, 4］ U ［9, +°°)・)
追问3：你还能得到函数y=x+［ (Q0)的哪些性质？(函数y=x+g (Q0)的定义域为(―°°, 0)U(0, +8),该函数为奇函数.它在区间(0,依］上单调递减，在区间［欢, + 8)上单调递增；在区间(一8,—必］上单调递增，在区间［—女，0)上单调递减.)
追问4：请你试着画出该函数(Q ；，/
0)的图象.(学生根据函数性质画出与图1类二
似的图象.)
设计意图：例1通过单调性的证明与求解单「//
I I I I I I ■， I I I I I I 、~^6~~~~~ 1 jd 1 2 3 4 5 6 X 调区间加深学生对单调性定义的理解，提升学生/当-
的逻辑推理和数学运算素养.追问1, 2训练学/彳飞-
生对函数的图象与性质(单调性、最大(小)值) / 二的理解，追问3, 4训练学生对函数性质的整体 / $
图1 把握，通过性质的探究
预测图象的大致走向，感受代数与几何的相互成就，提升学生的直观想象和数学抽象素养.
2.单调性与奇偶性的综合应用
例2 (习题3.2P86第11题)
已知函数犬X)是定义域为R的奇函数，当xNO时，»=x(l+x).画出函数必)的图象,
并求出函数的解析式.
追问1：求/(—1). (/(I) =1X(1 + 1)=2,又因为函数犬x)是奇函数，所以1)= -/ (1) =-2.)
追问2：求冷).(当心。

时，ya)=r(i+f)；当i<o 时，一r>o, y(—f)=-fx(1+(—分) =—z(i—/),又因为函数是奇函数，所以
师生活动：学生先独立地根据奇偶性画出函数的图象，体会该函数在定义域R内的不同范围内的对应关系不同，明确所求函数是分段函数.求解解析式对于大多数高一学生来说比较困难，老师可以适当通过追问加以引导.
预设的答案：
当xNO 时，7(x)=x(l+x)；
当x<0 时，一X>O, /(—x)=—xX (1+(—X)) = —x(l—x),又因为函数Rt)是奇函数, 所以fix) =—X—x)=x(1 —x).
|%(1—x), x<0,
综上，fi.x)=\ , 图象如图2实线部分.
［尤(1 I x)， x 0.
追问3：若函数关0是定义域为R的偶函数，其他条件不变，画出函数关0的图象，并求出函数的解析式.
(当xNO 时，J(x)—x(l+x)；
当％VO时，一工〉0,汽一x)=—xX (1+(―工))=—尤(1—0 ,又因为函数汽工)是偶函数, 所以—A—^) ——x (1 —X)=尤(工一1)・
\x(x— 1), xVO,
综上，川)= , 、八图象如图3实线部分.)
［尤(1 I x)， x 0.
追问4：在例2与追问3中，分别判断在（一8, 0）上的单调性，据此你能得到奇函数和偶函数单调性的哪些特点？（例2中，函数在（一8, 0）上单调递增；追问3中，函数在（一8, 0）上单调递减.据此得到猜想：奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反.）追问5：下面的命题是真命题吗？如果是请你证明，如果不是，请你举出反例：已知函数犬x）是偶函数，而且在3,》］上单调递减，则Rr）在［—代一a］上单调递增.
（这是个真命题.
证明：V.ri, —代—a］,且，n＜.V2,
由一会一a，得aW——xiWZ?,
由必）在［a, i＞］上单调递减，得即—.¥2）＜0,
得_=fi — X l）—fi — X2）＜0,
所以，函数九x）在［―瓦一a］上单调递增.）
设计意图：追问1, 2是引导学生从具体的函数求值入手过渡到一般的函数求值，然后比较自然地求解例2,追问3巩固例2中所学的思路与方法，提升学生的逻辑推理和数学运算素养.追问4, 5引导学生体会单调性与奇偶性之间的关系，提升学生的直观想象和逻辑推理素养.
三、归纳小结，布置作业
问题2：回忆本节课的内容，请你回答以下几个问题：
（1）奇偶性与单调性如何互相影响？
（2）应用奇偶性和单调性的定义，我们可以解决什么问题？
师生活动：师生一起总结.
预设的答案：（1）如果函数是奇函数，则在对称区间上的单调性是相同的；如果函数是偶函数，则在对称区间上的单调性是相反的.
（2）利用单调性定义，可以用于证明一些图象已知的函数的单调性，还可以用于判定图象未知的函数的单调性.利用奇偶性定义，可以判定奇偶性，还可以解决对称区间上的函数求值问题.
设计意图：通过梳理本节课的内容，让学生明确函数性质的各种作用.
四、目标检测设计
2］
1.已知/（.r）=^Y，,r£R.
(1)求证：y(x)在区间［―1, 1］上单调递增；
(2)你还能得到函数的哪些性质？
设计意图：考查函数单调性、奇偶性、最值等性质.
已知函数必)是定义域为R的偶函数，当x<0时,»=.r(.r+l),则当x>0时，f(x)
设计意图：考查运用奇偶性的定义求解析式.
3.函数/(x) =x* 1 2 3+2(a~l)x+2在区间( —oo,4］上单调递减，则a的取值范围是.
设计意图：考查单调性的应用.
参考答案：
1. (1) VX1,地6［—1, 1］,且X1<X2,贝U /(X1) -f(X2)_2 甘2:；；：］］］)，
因为尤2—工1>0，工1入2—1 V0,所以/(xi) —/(X2)<0,即/(xi) <Z(X2)，所以函数八X)=尸+］在区间［"I, 1］±单调递增.
(2) ®f(x)在区间(一8, — 1］和［1, +8)上单调递减；②/U)是奇函数；③值域为［一1，1］•
2. x(x~ 1).
3. （一8, —5].。