反三角、反双曲函数的定义
反正弦 Arcsin z iLn(iz 1 z 2 ) 反余弦 Arccos z iLn(z z 2 1) i 1 iz 反正切 Arc tan z Ln 2 1 iz
可导
可微
连续 极限存在 连续 极限存在
在区域上：
解析
可微
反之不成立！
二元函数偏导数存在且连续
二元函数可微
判别命题
设复变函数 w f ( z ) u( x , y ) iv( x , y )
u( x, y), v( x, y) 极限存在 连续 u( x , y ), v( x , y ) 连续 可微(可导) u( x , y ), v( x , y ) 可微
设函数 f ( z )在区域D内解析,且f '( z ) 0， 又反函数z f ( w ) ( w )存在且为连续，
1
1 1 则： '( z ) f '( z ) z ( w ) f '( ( w ))
极限、连续、可导、可微和解析关系
在一点处：
解析
可导

f (z) g( z )
'=
f '( z ) g ( z ) f ( z ) g '( z )
g ( z )
2
复合函数及反函数求导法则
设函数 f ( z )在区域D内解析，函数 w g( )在区域G内解析，又f ( D ) G ,
则复合函数w g( f ( z )) h( z )在内解析， 并且有: h '( z ) [ g( f ( z ))]' g '( f ( z )) f '( z )
• 定义及性质
• 根式函数单值化计算
指数函数的定义和性质
定义 : e e (cos y i sin y ).
z x
、定义域z C , 值域w C \ {0, }
、指数函数w e z 是周期为2 i的周期函数:
、指数函数在定义域内解析，且有: (e z )' e z 、 | e z | e x , Arge z y 2k ，k 0, 1, 2,
如果存在一个复数0 (0 )，使得 0， 0
对满足0 | z z0 | (0 )的一切z，都有 | f ( z ) 0 | ，
则称0为函数f ( z )当z趋于z0时的极限。
记作 lim f ( z ) 0或f ( z ) 0 (当z z0 ).
第二章 解析函数
1、重点和难点 2、内容总结 3、习题处理
1、重点与难点
重点： 1. 函数解析性的定义和判别； 2. 初等解析函数； 难点： 1. 解析函数的概念；
2. 多值函数单值化。
2、内容提要
它 们 之 间 的 关 系
极限 连续性
指数函数 三角函数 双曲函数
复变函数
解析函数
导数 微分
它们的关系 解析判别命题
[ f ( z ) g( z )]' =f '( z ) g( z ) f ( z ) g '( z )

f (z) g( z )
'=
f '( z ) g ( z ) f ( z ) g '( z )
g ( z )
2
复变函数解析的四则运算
如果f ( z )和g( z )在区域D上解析，则
同理可以定义其他双曲函数：
sinh z cosh z tanh z , coth z , cosh z sinh z 它们解析且
1 1 (tanh z )' , (coth z )' . 2 2 cosh z sinh z
对数函数等的定义和性质
定义 : w Lnz {ln | z | i arg z i 2k : k 0, 1...}
初等解析函数
对数函数
幂函数
单 值 函 数 的 定 义 和 性 质 多值函数的定义和单值化
第一部分 复变函数极限、连续、 可导、可微和解析
• 定义
• 性质及运算 • 它们之间的关系 • 判别命题 • 常见复变函数此类性质总结
复变函数极限定义
设函数w f ( z )在0 | z z0 | 内有定义。
u y

v x
u v 且f '( z )＝ i x x
解析的一个应用—求偏导数
f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 解析
u( x, y), v( x, y) 可微
且C-R方程成立
u v CR方程： , x y
解析f
'( z )＝ux iv x u( x, y ), v( x, y )可微
1 2 1 2
特别 : ln z=w0 ln | z | i arg z是主值分支
、lnz定义域z C \ {0, }, 值域w {- Im(ln z) } 、对数函数主值w lnz是单值函数, 非周期函数
1 、对数函数主值w lnz是解析函数, 且(ln z )' z
复变函数极限的四则运算
设 lim f ( z ) A, lim g( z ) B , 那末
z z0 z z0
(1) lim[ f ( z ) g( z )] A B;
z z0 z z0
(2) lim[ f ( z ) g( z )] AB; f (z) A (3) lim ( B 0). z z0 g ( z ) B
复变函数连续的四则运算
(1) 在 z0 连续的两个函数 f ( z ) 和 g( z ) 的和、差、 积、商 (分母在 z0 不为零) 在 z0处仍连续.
复合函数的连续性
(2) 如果函数 h g( z )在 z0 连续, 函数 w f ( h)在 h0 g( z0 ) 连续, 那末复合函数 w f [ g( z )] 在 z0 处 连续.
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复变函数解析的定义
如果f ( z )在z0 及z0的邻域内处处可导， 则称f ( z )在z0处解析；
我们也说f ( z )是D内的解析函数；
如果f ( z )在区域G内处处解析，而闭区域 D上每一点 都属于G , 那么称f ( z )在闭区域 D内解析.
如果f ( z )在区域D内处处解析，则称f ( z )在D内解析，
记 : wk ln | z | i arg z i 2k 是一个单值分支
、Lnz定义域z C \ {0, }, 值域w C 、对数函数w Lnz是无穷多值函数, 非周期函数 、对数函数w Lnz没有解析性 、对数函数的代数性质： Ln(z z ) Lnz ＋Lnz Ln(z1 / z2 ) Lnz1 Lnz2
sin(iz ) i sh z, cos(iz ) ch z.
cosh( x yi ) cosh x cos y i sinh x sin y, 、 sinh( x yi ) sinh x cos y i cosh x sin y. 、 cosh2 z sinh2 z 1
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复变函数极限的洛必达法则
如果f ( z )和g( z )在z0解析,且f ( z0 )=g( z0 ) 0, g '( z0 ) 0,
f ( z ) f ( z0 ) z z0 f (z) lim lim z z0 g ( z ) z z0 g ( z ) g ( z ) 0 z z0 f '( z0 ) = g '( z0 )
f (z) f ( z ) g( z )、f ( z ) g( z )、 ( g( z ) 0) g( z )
在区域D上解析，并且有
( f ( z ) g( z ))' =f '( z ) g '( z )
[ f ( z ) g( z )]' =f '( z ) g( z ) f ( z ) g '( z )
z z0
复变函数的微分定义
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) 由 f '( z0 ) lim ， z 0 z
知 w f '( z0 )z o(| z |) (z 0)
称df ( z0 ) f '( z0 )z或f '( z0 )dz为函数f ( z ) 在z0处的微分；也称函数在z0处可微。
设单值函数w f (z )在点z0的某邻域内有定义， z0 z是邻域内任意一点 f ( z 0 z ) f ( z 0 ) w 如果极限 lim lim 存在 z 0 z z 0 z （假设为A，有限的复数）
则称函数f ( z )在z0处可导，A称为函数f ( z ) dw 的导数，记为f '( z0 )，或 dz .
12
复变函数可导、可微的四则运算
如果f ( z )和g( z )在区域D上可导(可微)，则
f (z) f ( z ) g( z )、f ( z ) g( z )、 ( g( z ) 0) g( z )
在区域D上可导(可微)，并且有
( f ( z ) g( z ))' =f '( z ) g '( z )
z、 Re( z )、 Im( z )、 z 、P ( z )、P ( z ) / Q( z ) 在定义域内连续
z、 Re( z )、 Im( z )、 z 在定义域内不可导 P ( z )、P ( z ) / Q( z )在定义域内可导