习题课：函数的极值徐丽娜2010-5-6
教学目的熟练的求解可导数函数的极值
教学重点由极值确定字母值或取值范围
一、课前复习
1.（已知函数y=f(x)是定义在R上的可导函数，y=f′(x)是y=f(x)的导函数，命题p:f′(x0)=0；命题q:y=f(x)在x=x0处取得极值，则p是q的( )
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件
【解析】选B.∵y=f(x)在定义域R上有导数且y=f(x)在x=x0处取得极值.∴f′(x0)=0，但有f′(x0)=0，函数y=f(x)在x=x0不一定有极值.例如y=x3, y′|x=0=0.但函数y=x3在x=0处无极值.
2.已知f′(x)的图象（如图所示），
则f(x)在x=1处（）
（A）取得极大值
（B）取得极小值
（C）没有取得极值
（D）是否取得极值无法确定
【解析】选B.由图知，当x<1时，f′(x)<0;
当x>1时,f′(x)>0,故f(x)在x=1处取得极小值
二、例题讲解
例1.（2009·柳州模拟）已知函数f(x)=x3+2x2+x-4, g(x)=ax2+x-8.
（1）求函数f(x)的极值；
（2）若对任意的x∈［0,+∞)都有f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围.
三、课堂练习
1.函数f(x)=x3-3bx+3b 在(0,1)内有极小值,则( )
(A)0＜b ＜1 (B)b ＜1 (C)b ＞0 (D)b ＜0
【解析】选A.f ′(x)=3x2-3b=3(x2-b),
若f(x)有极值则b ＞0,
由f ′(x)=0得x=± ,且f(x)在x= 处取极小值, 则0＜ ＜1得0＜b ＜1.
2.（思维拓展题）关于x 的方程x3-3x=k 在R 上只有一个实根，则常数k 的取值范围为______.
【解析】设f(x)=x3-3x-k,则f ′(x)=3x2-3,
令f ′(x)=0,得x=-1或x=1.
可得函数f(x)在(-∞,-1)和（1,+∞）上是增函数，在(-1,1)上是减函数.
f(x)极大值=f(-1)=2-k ，f(x)极小值=f(1)=-2-k.
要使原方程只有一个实数根，只需
2-k ＜0或-2-k ＞0，解得k ＞2或k ＜-2.
四、作业1.若函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1没有极值点，则a 的取值范围为_______
【解析】f ′(x)=3x2+6ax+3(a+2).令f ′(x)=0,因为f(x)没有极值点,
所以Δ=36a2-36(a+2)≤0,解得-1≤a ≤
2. b b b。