特殊的四边形培优1.如图，已知在菱形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，且AE=BE，则∠EDF=______度．1.如图，四边形ABCD是正方形，△BDE是等边三角形，EF⊥DF,则∠BEF=________3.如图，正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，Rt△CEF的面积为200，则BE 的长为_______FB CA DE4. 如图，在菱形ABCD 中，AB=4a ，E 在BC 上，BE=2a ，∠BAD=120°，P 点在BD 上，则PE+PC 的最小值为（ ）5.如图,矩形AEFG 与矩形APQK 的周长都等于120cm,求△ABC 的周长6.如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，DC 边的中点，AN 与MC 交于P 点，若∠MCB=∠NBC+33°，那么∠MPA 的大小是（ ）1. 边长为25cm 的正方形纸片,AD 上有一点P ,且AP=66cm,将这纸片折叠使B 落在P 上,则折痕的长是________2. 已知直角三角形ABCD 中,∠C=90°,AC=3,BC=5,以AB 为边向外作正方形ABEF 求此正方形KGP E BC中心O到C点的距离OC的长________3.如图,已知在矩形ABCD中,E为CB延长线上一点,CE=AC,F是AE的中点.（1）求证BF⊥DF（2）若AB=8,AD=6,求DF的长10.如图，已知三角形ABC中，AB=AC,点M为BC 的中点，MG⊥BA于G,MD⊥AC于D,GF⊥AC于点E，GF与DF相交于点F,（1）求证：四边形HGMD是菱形（2）若∠GMD=120°，求证：从M点向所对的HG 和HD边引出的两条垂线MK和MQ分别平分这两条线段.E FQKDG11．如图,将一矩形的每一内角三等分,连接靠近同一边上的两三等分线所交成4交点组成四边形EFGH,试判断四边形EFGH形状12.在正方形ABCD中,AK和AN是∠A内的两射线,BK⊥AK,BL⊥AN,DM⊥AK,DN⊥AN,试求KL=MN1.在锐角△ABC中,BE是高,CF是中线,若∠ACF=30°则BE:CF=________2.如图，D、E、F分别是△ABC三边的中点，G是AE的中点，BE与DF、DG分别交于P、Q两点，则PQ：BE=______．3.如图，△ABC中，∠BAC=120°,以AB,AC为边分别向形外作正三角形ABD和正三角形ACE,M为AD中点,N为AE中点,P为BC中点,求∠MPN的度数.4.凸五边形ABCDE中,∠ABC=∠AED=90°,∠CAD=30°,∠BAE=70°,F是CD中点,且FB=FE,则∠BAC=_________.5.已知：如图所示，在△ABC中，D、G分别为AB、AC上的点，且BD=CG，M、N分别是BG、CD的中点，过MN的直线交AB于点P，交AC于点Q，求证：AP=AQ。
6．如图,在等腰梯形ABCD中,AD平行BC,E,F,G,H,分别是AD ,BC,BE ,CE的中点.（1）.求证:四边形EGFH是菱形（2）.若BC=2AD.且梯形ABCD的面积为30平方厘米,求四边形EGFH的面积7.已知△ABC 中,∠B=2∠C,AD ⊥BC 于D,M 为BC 的中点,求证:DM=1/2AB8. 在△ABC 中,点D 在CA 的延长线上且AD=12 AC,E 为BC 的中点,DE 交AB 于F ，过F 引直线MN 垂直DE ，P 为MN 上一点，求证PD=PEFA BCDP910. 线段AB,CD 相交于点O,且AB=CD,E,F 分别为BC,AD 的中点，连接EF 分别交AB,CD 于P,H 如图，求证：OP=OHHP EF CDOA1.如图,在平行四边形ABCD 中,BC=2AB,M是AD的中点,CE⊥AB于点E.求证：∠DME=3∠AEM.2.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与y=-34x+3交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D 是直线AC上的一个动点．（1）求点A，B，C的坐标；（2）当△CBD为等腰三角形时，求点D的坐标；（3）在直线AB上是否存在点E，使得以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出的值；如果不存在，请说明理由．BECD3.如图,矩形纸片ABCD中,AD=9,AB=3,将其折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,那么折痕EF的长为_____4.将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA=6，OC=10．（1）如图（1），在OA上取一点E，将△EOC沿EC 折叠，使O点落在AB边上的D点，求E点的坐标；（2）如图（2），在OA、OC边上选取适当的点E′、F，将△E′OF沿E′F折叠，使O点落在AB边上的D′点，过D′作D′G⊥C′O交E′F于T点，交OC′于G点，求证：TG=A′E′．（3）在（2）的条件下，设T（x，y）①探求：y与x 之间的函数关系式．②指出变量x的取值范围．（4）如图（3），如果将矩形OABC变为平行四边形OA″B″C″，使O C″=10，O C″边上的高等于6，其它条件均不变，探求：这时T（x，y）的坐标y与x之间是否仍然满足（3）中所得的函数关系，若满足，请说明理由；若不满足，写出你认为正确的函数关系式．5.在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=1，E为边BC 的中点．则对角线BD上的动点P到E、C两点的距离之和的最小值为__________6. 如图，在矩形ABCD中，对角线长2，且∠1=∠2=∠3=∠4，则四边形EFGH的周长为（）7.如图,在菱形ABCD中,已知AB=3,DF=1,∠DAB=60°,∠EFG=15°,FG⊥BC,求AE的长8.在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上异于A和D的任意一点，且PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=______．1. 如图，长方形ABCD的长为8，宽为5，E是AB的中点，点F在BC上，已知△DEF的面积为16，则点D到直线EF的距离为______．10.如图，直角三角形ABC中，AC=1，BC=2，P为斜边AB上一动点。
PE⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长的最小值为（）。
11. 如图，设ABCDE是正五边形，五角星ACEBD（阴影部分）的面积为1，设AC与BE的交点为P，BD与CE的交点为Q，则四边形APQD的面积等于______．12.已知：如图，菱形ABCD 的对角线AC与BD交于AB，点O，延长BA到E，使AE=12连接OE，延长DE交CA的延长线于F．求证：DF．OE=1213. 如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；（1）延长MP交CN于点E（如图2）。
①求证：△BPM ≌△CPE；②求证：PM=PN；（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P 在直线a的同侧，其它条件不变。
此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变。
请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗？不必说明理由。
14.如图，已知ABCD为正方形，△AEP为等腰直角三角形，∠EAP=90°，且D、P、E三点共线，若EA=AP=1，PB=5，则DP=_____．15.如图①,把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG>BC）,⑴探究线段MD、MF的关系,加以证明（2）将正方形CGEF铙点C旋转任意角度后,其他条件不变,探究：MD、MF的关系,加以证明.16. 小杰和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形ABCD ，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG ⊥FH，则EG = FH”经过思考，大家给出了以下两个方案：（甲）过点A作AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N ；（乙）过点A作AM∥HF 交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N ；小杰和他的同学顺利地解决了该题后，大家琢磨着想改变问题的条件，作更多的探索。
……（1）对小杰遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个，加以证明（如图8）；（2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设AB =2，BC =3（如图9），试探究EG、FH之间有怎样的数量关系，并证明你的结论；（3）如果把条件中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为（如图10），试求EG的长度。
17.如图①所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l 于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1．（1）如图②，当点E恰好在直线l上时（此时E1与E 重合），试说明DD1=AB；（2）在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系．（不需要证明）18.如图1,正方形ABCD中,点M在AB上,点N在CD上,点P在BC上,MN垂直AP于E .(1)求证：AP=MN.(2)如图2,点F在MN上,若EF=EA,连CF,点G为CF的中点,连DG,DE,求证：DE=2DG（3）在（2）的条件下，若DA=DE,且DN=32,BM=2，求DG的长19.如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，点F 在BC上，∠EAF=∠DAE，则下列结论中正确的是（）A．∠EAF=∠FAB B．BC=3FC C．AF=AE+FC D．AF=BC+FC20已知，如图，正方形ABCD的面积为25，菱形PQCB 的面积为20，求阴影部分的面积21．已知正方形ABCD的边长为1,E为BC边的延长线上一点,CE=1,连接AE,与CD交于点F,连接BF并延长与线段DE交于点G,则BG的长为_______22.在边长为2的正方形ABCD的四边上分别取点E、F、G、H、四边形EFGH四边的平方和EF 2+FG2+GH2+HE2最小时其面积为 .23.如图，已知：△AEC是以正方形ABCD的对角线为边的等边三角形，EF⊥AB，交AB延长线于F，则∠BEF度数为______°．24.如图,已知正方形ABCD,BE=BD,CE‖BD,BE与CD交于点F,证明：DE=DF.25.在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限。