【基础知识精讲】
1.基本概念
(1)顶点在圆心的角叫圆心角. (2)从圆心到弦的距离叫弦心距.
(3)1°的圆心角所对的弧叫1°的弧. 2.定理
(1)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.
(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等. (3)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等.
3.应注意的问题
(1)解题时作圆心的弦心距是常用辅助线.
(2)等弧的度数一定相等，相等度数的弧不一定是等弧.
【重点难点解析】
本节的重点是掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系，并能运用这些关系解决有关的证明、计算题，难点在于选择适当的辅助线，运用这几个量的相等关系解题.
例1 如图7-20，O 是Rt △ABC 三条角平分线的交点，∠C=90°，⊙O 经过C 点分别交AC 、BC 于D 、E ，交AB 于F 、G ，求证⌒
CD =⌒
CE =⌒
FG
证明：作弦CD 、CE 、FG 的弦心距OM 、ON 、OP ， ∵O 是△ABC 的三条角平分线的交点， ∴OM=ON=OP ， 则：⌒
CD =⌒
CE =⌒
FG
说明：证明弧相等通常证明弧所对的弦或圆周角相等，此题由角平分线定理得三条弦的弦心距相等，从而知道这三条弧相等.
图7-20 图7-21
例2 如图7-21，OA 、OB 是⊙O 的两条互相垂直的半径，M 是弦AB 的中点，过M 作MC
∥OA ，交⌒
AB 于C ，求证⌒
AC =3
1⌒
AB .
证明：过M 、C 作ME ⊥AO 于E ，CF ⊥AO 于F ，连OC
∵M 为AB 的中点，∴ME=
2
1
OB,易证MEFC 为矩形 ∴CF=21OB=21OC ，∠COF=30°，则⌒AC =3
1⌒
AB
说明：若⌒
AC =31⌒AB ，则∠COF=3
1
∠BOA ，由题目条件知，须证明∠COF=30°即可.
例3 已知AB 、CD 是⊙O 的两条直径，AP 是⊙O 的弦，且AP ∥CD ，求证BD=DP
证明：如图7-22，∵AP ∥CD ，∴⌒
AC =⌒
PD ， ∵AB 、CD 是两直径，∴∠COA=∠BOD ， ∴⌒
CA =⌒BD ，则⌒BD =⌒
PD 故BD=DP
说明：此题用到“夹在两平行弦之间的弧相等”，“圆心角相等弧相等”，“弧相等弧所
对的弦相等”等结论.
例4 如图7-23，MBA 与MDC 是⊙O 的二割线，已知弦AB=CD ，求BM=DM.
证明：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ，
∵AB=CD ，∴OE=OF ，则Rt △MEO ≌Rt △MFO ， ∴ME=MF ，又AE=
21AB=2
1
CD=FC ∴MB=MC
说明：本题通过作弦心距将问题转化为证ME=MF ，再通过三角形全等达到目的，在全等的证明过程中用到“弦相等弦心距相等”这一结论.
【难题巧解点拨】
例1 如图7-24，⊙O 中弦AB=CD ，⌒
AB 与⌒
CD 的中点分别是M 和N ，MN 与AB 、CD 分别交于E 和F ，求证：ME=NF.
证明：连结AM 、BM 、CN 、DN ∵AB=CD ，∴⌒
AB =⌒
CD
∵M 、N 的分别为⌒AB 、⌒
CD 的中点 ∴⌒AM =⌒MB =⌒CN =⌒
DN ∴AM=BM=CN=DN ，⌒MD =⌒
NB
∴∠FND=∠EMB ，∠MBE=∠NDF ，∴△MEB ≌△NFD ，∴ME=FN
说明：此题通过弧、弦相等关系的互换证得MB=DN ，从而得△MEB ≌△FND ，得出结论. 例2 如图7-25，已知⊙O 的两弦AB 和CD 相交于P ，且∠BPO=∠DPO ，求证：⌒
AD =⌒
BC .
证明：作OE ⊥CD 于E ，OF ⊥AB 于F ， ∵∠BPO=∠DPO ，
∴OE=OF ，CD=AB ，⌒AB =⌒CD ，⌒AD =⌒
BC
说明：本题通过角平分线定理得弦心距相等，从而弦相等，进而弧相等，再去掉公共部分⌒
AC 得命题成立.
【课本难题解答】
1.如图7-26，在⊙O 中，弦AB=CD ，延长AB 到E ，延长CD 到F ，使BE=DF ，求证：EF 的垂直平分线经过点O.
分析：由角平分线定理的逆定理知，只须证明OE=OF ，又由条件弦相等得弦心距OM=ON ，从而得△FOM ≌△EON ，证出OF=OE ，命题成立.
2.如图7-27，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=25°，以C 为圆心，CA 为半径的圆交AB 于D ，求⌒
AD 的度数.
分析：要求弧AD 的度数就是求∠DCA 的度数，由条件易求出∠A=65°，再考虑△CDA ，易求得∠DCA=50°，∴⌒
AD =50°
【典型热点考题】
例1 如图7-28，已知⊙O 中⌒
AB =2⌒
CD ，求证明：AB ＜2CD.
证明：取⌒
AB 的中心M ，连结BM 、AM ∵⌒
AB =2⌒
CD ∴⌒AM =⌒BM =⌒
CD
从而有AM=BM=CD
在△AMB 中，AB ＜BM+AM=2AM=2CD 故AB ＜2CD
说明：本题主要考察弦、弧之间的关系，定理告诉我们等弧对等弦，此题告诉我们长不相等的弧的比值与其所对的弦的比值不等.
例2 如图7-29，AB 为⊙O 的直径，半径OC ⊥AB ，过OC 的中点D 作弦EF ∥AB ，求证∠ABE=15°.
证明：作EH ⊥AB 于H ，则EHOD 为矩形 ∴EH=OD ，又D 为CO 的中点，∴EH=OD=
2
1CO
考虑△EHO 知：∠EOH=30° 再考虑△EOB 知：∠EBO=
2
1
∠EOH=15° 例3 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=20°，以C 为圆心CA 为半径的圆交BA 于D ，交BC 于E ，求⌒
DE 的度数(图7-30).
解：连连DC ，考虑△ABC ，
∵∠C=90°，∠B=20°∴∠A=70° 考虑△CDA ，∵CD=CA ，∠A=70°
∴∠DCA=40°，则∠DCE=50°，∴⌒
DE =50° 说明：本题主要考察弧的度数的概念.
本周训练
【同步达纲练习】
一、填空题(8分×5=40分)
(1)梯形ABCD 内接于⊙O ，且AD ∥BC ，则AB= .
(2)AB 、CD 是⊙O 的两弦，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，若AB=CD ，作OE= ，∠AOB= ，⌒
AB = .
(3)圆内最大的弦是12，则这个圆的半径是 .
(4)一条弦把圆分成2:3两部分，则劣弧所对的圆心角的度数是 . (5)等边△ABC 内接于⊙O ，则与⌒
AB 相等的弧有 ，∠AOB= .
二、选择题(8分×5=40分)
(1)AB 、CD 分别是两个不等圆的弦，若AB=CD ，则( )
A.⌒AB =⌒DC
B. ⌒AB ＞⌒DC
C. ⌒AB ＜⌒DC
D. ⌒AB ≠⌒
DC (2)在⊙O 中，⌒AB =2⌒
DC ，那么( )
A.AB=2DC
B.AB=DC
C.AB ＜2DC
D.AB ＞2DC (3)在△ABC 中，∠A=70°，⊙O 截△ABC 的三边，所截得的弦都相等则∠BOC 等于( ) A.11° B.125° C.130° D.不能确定
(4)在半径不相等的⊙O 1和⊙O 2中，⌒
11B A 与⌒
22B A 所对的圆心角都是60°，则下列说法
正确的是( )
A.
⌒
1
1
B
A与
⌒
2
2
B
A的弧长相等
B.
⌒
1
1
B
A和
⌒
2
2
B
A的度数相等
C.
⌒
1
1
B
A与
⌒
2
2
B
A的弧长和度数都相等
D.
⌒
1
1
B
A与
⌒
2
2
B
A的弧长和度数不相等
(5)下面说法正确的是( )
A.弦相等，则弦心距相等
B.弧长相等的弧所对的弦相等
C.垂直于弦的直线必平分弦
D.圆的两条平行弦所夹的弧长相等
三、解答题(10分×2=20分)
(1)从⊙O外一点P向⊙O引两条割线PAB、PCD交⊙O于A、B、C、D，且
⌒
AB=
⌒
CD，求
证：圆心O必在∠BPD的平分线上，
(2)如图7-31，已知⊙O的半径OA、OB互相垂直，弦AD的延长线交OB的延长线于C，
若∠ACD=32°，求
⌒
AD的度数.
【素质优化训练】
1.如图7-32，在⊙O中，弦AB=CD，E、F分别在AB、CD的延长线上，BE=DF，OG⊥EF，垂足为G，求证：G为EF的中点.
2.求证：求⊙O内一点A的所有弦中，垂直于OA的弦最短.。