对数函数图像和性质及经典例题 第一部分：回顾基础知识点
对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 对数函数的图象和性质
○
1 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象； （1） x y 2log = （2） x y 2
1log =
（3） x y 3log = （4） x y 3
1log =
○
2 对数函数的性质如下：
图象特征
函数性质
1a >
1a 0<< 1a > 1a 0<<
函数图象都在y 轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞） 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 向y 轴正负方向无限延伸 函数的值域为R
函数图象都过定点（1，1） 11=α
自左向右看， 图象逐渐上升
自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数
第一象限的图象纵坐标都大于0
第一象限的图象纵坐标都大于0 0log ,1>>x x a
0log ,10><<x x a
第二象限的图象纵坐标都小于0
第二象限的图象纵坐标都小于0
0log ,10<<<x x a
0log ,1<>x x a
○
3 底数a 是如何影响函数x y a
log =的．
规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．
第二部分：对数函数图像及性质应用
例1．如图，A ，B ，C 为函数x y 2
1log =的图象上的三点，它们的横坐标分别是t , t +2, t +4(t ≥1).
(1)设∆ABC 的面积为S 。

求S=f (t ) ； (2)判断函数S=f (t )的单调性； (3) 求S=f (t)的最大值
.
解：（1）过A,B,C,分别作AA 1,BB 1,CC 1垂直于x 轴，垂足为A 1,B 1,C 1， 则S=S 梯形AA 1B 1B +S 梯形BB 1C 1C －S 梯形AA 1C 1C .
)44
1(log )2(4log 2
3223
1t t t t t ++=++= （2）因为v =t t 42+在),1[+∞上是增函数,且v ≥5,
[)∞++=.541在v v 上是减函数，且1<u ≤59;
S ⎥⎦
⎤
⎝⎛=59,1log 3在u 上是增函数，
所以复合函数S=f (t ) [)+∞++
=,1)44
1(log 2
3在t
t 上是减函数 （3）由（2）知t =1时，S 有最大值，最大值是f (1) 5log 25
9
log 33
-== 例2．已知函数f(x 2
-3)=lg 6
22
-x x ,
(1)f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性； (3)求f(x)的反函数; (4)若f[)(x φ]=lgx,求
)3(φ的值。

解：（1）∵f(x 2
-3)=lg 3
)3(3
)3(22--+-x x ,
∴f(x)=lg
3
3
-+x x , 又由06
2
2
>-x x 得x 2-3>3,
∴ f(x)的定义域为（3，+∞）。

（2）∵f(x)的定义域不关于原点对称， ∴ f(x)为非奇非偶函数。

（3）由y=lg
,3
3
-+x x 得x=1
10)
110(3-+y
y , x>3,解得y>0,
∴f -1
(x)=)0(1
10)
110(3>-+x x
x (4) ∵f[)3(φ]=lg
3lg 3
)3(3
)3(=-+φφ,
∴
33
)3(3
)3(=-+φφ，
解得φ(3)=6。

例3.已知x>0,y ≥0,且x+2y=
21
,求g=log 2
1(8xy+4y 2+1)的最小值。

解：由已知x=21
-2y>0,
41
0<≤∴y ,
由g=log 2
1
(8xy+4y 2+1)
=log 2
1
(-12y 2+4y+1)
=log 21
[-12(y-61)2+34],
∴当y=61,g 的最小值为log 2
134
例4. 已知函数()log (1)x
a f x a =-（0a >且1a ≠）．
求证：（1）函数()f x 的图象在y 轴的一侧；
（2）函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0． 证明：（1）由10x a ->得：1x a >， ∴当1a >时，0x >，
即函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 此时函数()f x 的图象在y 轴的右侧； 当01a <<时，0x <，
即函数()f x 的定义域为(,0)-∞， 此时函数()f x 的图象在y 轴的左侧． ∴函数()f x 的图象在y 轴的一侧；
（2）设11(,)A x y 、22(,)B x y 是函数()f x 图象上任意两点，且12x x <， 则直线AB 的斜率12
12
y y k x x -=
-， 11
2
2121
log (1)log (1)log 1
x x x a a a x a y y a a a --=---=-，
当1a >时，由（1）知120x x <<， ∴121x x a a <<， ∴12011x x a a <-<-，
∴12
1
011
x x a a -<<-， ∴120y y -<，又120x x -<， ∴0k >；
当01a <<时，由（1）知120x x <<， ∴121x x a a >>， ∴12110x x a a ->->，
∴12
1
11
x x a a ->-， ∴120y y -<，又120x x -<， ∴0k >．
∴函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0．
第三部分：针对性练习
1．函数y=lg （
112
-+x
）的图像关于（ ） （A ）x 轴对称 （B ）y 轴对称 （C ）原点对称 （D ）直线y=x 对称 2．函数y=log 2
1(2x 2-3x+1)的递减区间为（ ）
（A ）（1，+∞） （B ）（-∞，43］ （C ）（21，+∞） （D ）（-∞，2
1
］
3．将函数x y 2=的图象向左平移一个单位，得到图象C 1，再将C 1向上平移一个单位得到图象C 2，作出C 2关于直线y =x 对称的图象C 3，则C 3的解析式为 . 4．函数y=)124(log 22
1-+x x 的单调递增区间是 .
5．5.若f(x)=1+log x 3, g(x)=2log 2x ，试比较f(x)与g(x)的大小。

6.已知x 满足不等式2(log 2x ）2-7log 2x+3≤0,求函数f(x)=log 24
log 22x x ⋅的最大值和最小值。

针对性练习答案 1.C 2.A
3．1)1(log 2--=x y ； 4． )2,(--∞；
5.解析：f(x)-g(x)=log x 3x-log x 4=log x 43x
当0<x<1时，f(x)>g(x);当x=3
4
时，f(x)=g(x);
当1<x<34时，f(x)<g(x);当x>3
4
时，f(x)>g(x)。

6.解析：由2（log 2x ）2-7log 2x+3≤0解得2
1
≤log 2x ≤3。

∵f(x)=log 2)1(log 4
log 222-=⋅x x x (log 2x-2)=(log 2x-23)2-41
,
∴当log 2x=23时，f(x)取得最小值-41
；
当log 2x=3时，f(x)取得最大值2。