无理数的整数部分与小数部分
我们知道1,4,9,16,25,36,49，64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441，484,529, 576, 625,676,729,784,841,900,961,1024,1089,1156,1225,1369等这样的数叫完全平方数……，而2,3,5,6,7，8,10,11,12,13,14,15,17,18,19,20,21,22,23,24……等这样的数叫非完全平方数，那么怎样求被开平方数是非完全平方数的整数部分与小数部分呢？比如求a （a 是非完全平方数）的整数部分与小数部分，我们先确定a 最接近的两个完全平方数，即比a 稍小一点的完全平方数M ，比a 稍大一点的完全平方数N ，然后M ＜a ＜N ，即x （M =x ）＜a ＜y （N =y ），那么（令x 就是a 的整数部分，a 的小数部分就等于a -x 例1 已知15的整数部分是a ，小数部分是b ，求（15+a ）b 的值
解：∵9＜15＜16，∴9＜15＜16，即3＜15＜4，∴15的整数部分是a=3，小数部分是b=15-3， ,∴（15+a ）b=（15+3）（15-3）=（15）2-32
=15-9=6 例2 5+7的小数部分是a ，5-7的小数部分是b ，求ab+5b 的值
解：∵4＜7＜9，∴4＜7＜9，即2＜7＜3，∵2+5＜7+5＜3+5，即7＜5+7＜8，5+7的整数部分是7，小数部分是a=5+7-7=7-2，∵2＜7＜3，-2＞-7＞-3，∴-2+5＞-7+5＞-3+5,3＞-7+5＞2，即2＜5-7＜3，∴5-7的整数部分是2，小数部分是b=（5-7）-2=3-7，∴ab+5b=b （a+5）=（3-7）（7-2+5）=（3-7）（3+7）=32-（7）2=9-7=2
例3 若5+11的小数部分为a ，5﹣11的小数部分为b ，求a+b
解：∵3＜11＜4，∴3+5＜11+5＜4+4，即8＜5+11＜8，∴5+11的整数部分为8，小数部分a=5+11-8=11-3； ∵3＜11＜4，∴-3＞﹣11＞-4，∴-3+5＞﹣11+5＞-4+5，2＞﹣11+5＞1，即1＜5-11＜2，∴5-11的整数部分为1，小数部分b=5-11-1=4-11，所以a+b=11﹣3+4﹣11=1
例4 如果
731-的整数部分是a ，小数部分是b ，求b
a 的值 解：731
-=()()()7373731+-+⨯=()
22737
3-+=7973-+=273+，∵4＜7＜9，∴4＜7＜9，即2＜7＜3，∵2+3＜7+3＜3+3，即5＜3+7＜6，∴25＜273+＜26，即212＜273+＜3，∴273+的整数部分是 a=2，小数部分是b=273+-2=217-，b a =21
72-=174-=()()()1717174+-+⨯=()2217474-+=6474+=732+3
2 例5 求-189+6的整数部分与小数部分
解：因为-189+6＜0,所以要求-189+6的整数部分与小数部分，需要求（-189+6）的相反数（189-6）的整数部分与小数部分，然后取（189-6）的整数部分与小数部分的相反数即可得到-189+6的整数部分与小数部分.∵169＜189＜196，∴169＜189＜196，即13＜189＜14，∴13-6＜189-6＜14-6，即7＜189-6＜8，所以（189-6）的整数部分是7，小数部分是（189-6）-7=189-13，所以-189+6的整数部分是-7，小数部分是13-189
练习题：
1.已知35-2的整数部分是a ，小数部分是b ，求a 2-b 的值
2.已知6的整数部分是a ，小数部分是b ，求a+
b
1的值
3.已知9+13与9-13的小数部分分别为a ，b ，求ab-4a+3b-2的值
4.若6+10的整数部分为a ，小数部分为b ，求2a ﹣（10+3）b+2015的值
5.已知5−7的整数部分是a ，小数部分是b ，求a 2+(3+7)b 的值
6.若
1541-的整数部分是a ，小数部分是b ，求a 2
-（3+15）ab 的值
7.已知（3+1）÷（3-1）的整数部分是a ，小数部分是b ，求代数式a 2+ab+b 2
的值
8.已知19-2的整数部分是a ，小数部分是b ，求
()24b 3+ +2a 的值
9.若8-11的整数部分是a ，小数部分是b ，求2ab-b 2
的值
10.已知
2
73+的整数部分是a ，小数部分是b ，则a 2+（1+ 7）ab 的值
11.已知9+13的小数部分是a ，9-13的整数部分是b ，求ab-3a+4b+8的值
12.数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：2≈1.414…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用 2-1来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答：
（1）5的小数部分是a ，37的整数部分是b ，求a+b-5的值；（2）已知8+3=x+y ，其中x 是一个整数，
0＜y ＜1，求3x+（y-3）2015的值。