华东理工大学2005–2006学年第二学期《概率论与数理统计》课程期末考试试卷 B 2006.06开课学院： 理学院 ，专业：大面积 ，考试形式：闭卷 ， 所需时间：120分钟 考生姓名： 学号： 班级 任课教师一、 填空题（每题5分，共20分）（1）设 P ( A ) = 0.5 , P ( A B ) = 0.75 ,a ） 若A 与B 独立，则 P(B) ＝ 0.5 ；b). 若A 与B 不相容 ，则 P(B) ＝ 0.25 。

（2）设n X X X ,,21为总体2~(,)N ξμσ的样本，2111,()nnii i i X X X U n μσ==-==∑∑， 则它们分别服从 2(,)N n μσ 和 2()n χ 分布。

（3）设随机变量,ξη相互独立，且4D D ξη=。

记23,23X Y ξηξη=+=-，则{()()(E XY EX EY -＝ 725 。

（4） 设随机变量ξ的密度函数为：01(),120ax x p x b x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩，其它 且 1E ξ=，则： ,a b的值分别等于： 1 和 2 。

二、 选择题（每题5分，共20分）（1） 设A,B 是任意两个概率不是零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（ D ）。

（A ）A 与B 互不相容； （B ）A 与B 相容； （C ）P(AB) = P(A) P(B)； （D ）()()P A B P A -=。

（2）设随机变量,ξη相互独立，且3, 2.1E D ξξ==；4, 2.4E D ηη==，则2(2)E ξη-=（ A ）。

（A ）14.8 ； （B ） 4 ；（C ）12.4 ； （D ）其它 。

（3）设随机变量X ，Y 相互独立，服从相同的两点分布：111212-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则下列结论中肯定正确的是（ C ）：（A ）X=Y ； （B ）P(X=Y) = 0 ； （C ）P(X=Y) = 12； （D ）P(X=Y) = 1 。

（4）设(,)X Y 服从二维正态分布，则随机变量,U X Y V X Y =+=-独立的充要条件为（ B ）：（A ）EX EY =； （B ）2222()()EX EX EY EY -=-； （C ）22EX EY =； （D ）2222()()EX EX EY EY +=+。

三、（共10分）袋中有5个白球，3个红球，甲先从袋中随机取出一球后，乙再从中随机取出一球。

（1）试求“乙取出的是白球”的概率； （2）若已知“乙取出的是白球”，计算“甲取到红球”的条件概率。

解：（1）设A ＝{ 甲取出的是白球 }；B ＝{ 乙取出的是白球 }；则B AB AB =+，由全概率公式（或抓阄模型），()()()()()P B P A P B A P A P B A =+＝5435587878⨯+⨯=。

（5分）（2） 利用贝叶斯公式，得35()()()387()5()()78P A P B A P AB P A B P B P B ⨯====。

（5分）四、（共12分）一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，在系统运行过程中每个元件损坏的概率是0.10。

又知为使系统正常运行，至少必需有85个元件工作。

试用中心极限定理近似计算：（1）系统的可靠度（即正常运行的概率），（2）若上述系统改由 n 个相互独立元件组成，而且又要求至少 80 ％ 元件工作才能使整个系统正常运行，问 n 至少为多大时，才能保证系统的可靠度不低于 0.95 ？（ (1.667)0.952,(1.6449)0.95Φ=Φ= ）解：设1nn i i X ξ==∑，（根据第i 个元件是否工作，对应的i X 分别取 1 或 0）。

显然(,)nB n p ξ，其中10.100.90p =-= 。

由二项分布中心极限定理，(,)(0.9,0.09)n N np npq N n n ξ≈= 。

（4分）（1）此时100n =，系统可靠度为：100100(85)1(85)1P P P ξξ≥=-<=-<＝1(53)(50.952-Φ-=Φ=。

（4分） （2）由于(0.8)1(n P n P ξ≥=≥=-Φ=Φ所以从)0.953Φ≥，得到 1.64493≥，即24.3525n ≥≈。

（4分）五、（共8分）设随机变量 ,ξη的有关数字特征分别为：22,2,4,E D E ξξη===23,12D ξηηρ==，试求：22(323)E ξξηη-+-。

解：22(323)E ξξηη-+-＝223(())2((())3D E E E D E ξηξξξηρηη+-⨯+++-＝24 。

六、（共10分）设22(,),1,4,N ξμσμσ==令随机变量 e ξη=，试求：（1）η 的密度函数 ()p y η ； （2）η 的数学期望E η 。

解： （1）由于()x y f x e ==为单调增加函数，其反函数1()ln x f x y -==，故当0y <时，()0p y η= ；（1分）当0y ≥时，222(ln )(ln 1)()28y y p y ημσ⎧⎫⎧⎫--=-=-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，（4分） （2）222()322x xE Ee e dx ee μσμξση--+∞+-∞====⎰。

（5分）七、（共10分）某种产品在处理前与处理后分别抽样，分析其“含脂率”如下：处理前 i x ：0.19 ，0.18 ，0.21 ，0.30 ，0.41 ，0.12 ，0.27 ； 处理后 j y ：0.15 ，0.13 ，0.07 ，0.24 ，0.19 ，0.06 ，0.08 ，0.12 。

假定处理前后的含脂率都服从正态分布，其标准差不变。

取显著性水平 α＝0.05后，经过Excel 软件计算得到下面的输出表格（其中变量 1 代表处理前的含脂率 ；变量 2 代表处理后的含脂率）。

问： （1） 表格中数字的含义，（2）检验它们的均值是否相等（α＝0.05）？t-检验: 双样本等方差假设变量 1变量 2平均0.240.13方差0.0091333330.003885714观测值78合并方差0.006307692假设平均差0df13t Stat2.67612145P(T<=t) 单尾0.00952052t 单尾临界 1.770931704P(T<=t) 双尾0.01904104t 双尾临界2.16036824解： （1）”t Stat” = T 统计量的（观察）测试值，“P(T<=t) 双尾”＝ 双侧检验时的 P －值，“t 双尾临界”＝ 双侧检验时的临界值，其它省略。

（5分） （2）设它们的期望分别为：12,μμ，令 012112:,:H H μμμμ=≠ , 采用双侧T检验。

由于从表格可以看出，此时的P-值＝0.0190 < 0.05 ＝ α，这说明T 统计量的（观察）测试值落入拒绝区域，从而拒绝原假设，即认为处理前后的均值不相等。

（5分） 八、（共10分）设总体(,)U a b ξ，随机抽样得到样本观察值：12,,......,n x x x ，今分别用 1in(,......,)n m x x α= ，1ax(,......,)n m x x β= 作为,a b 的估计值。

（1）试分别写出,αβ的分布函数，（4分） （2）问它们是否分别为,a b 的无偏估计；（4分）（3）如果不是无偏估计，问应该如何把,αβ进行线性组合，使之成为,a b 的无偏估计。

（2分）解：（1）由于(,)U a b ξ，对应的分布函数为：0()()(),1x a F x x a b a a x b b x ξ<⎧⎪=--≤<⎨⎪≤⎩，所以,αβ的分布函数分别为：0()1(1())1(),1n n x a b x F x F x a x b b a b x αξ⎧<⎪-⎪=--=-≤<⎨-⎪≤⎪⎩，（2分） 0()(())(),1n n x a x aF x F x a x b b a b xβξ⎧<⎪-⎪==≤<⎨-⎪≤⎪⎩。

（2分） （2）对应的数学期望分别为：1()()()()1n b bn n naab x nna bE xn dx b b x dx b a b a n α--+==--=--+⎰⎰，（2分） 1()()()1bbn n naan x a n a nbE x dx a x a dx b a b a b a n β--+==+-=---+⎰⎰。

（2分） 所以它们都不是无偏估计。

（3） 令它们的线性组合分别为：,A B C D ααββαβ=+=+ 。

为使E a α=，必须有方程：10An B n A nb +=+⎧⎨+=⎩ ，从中解出：111n A n B n ⎧=⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩，所以 1n n αβα-=-，类似可得： 1n n βαβ-=- 。

（2分）。