2017年11月浙江数学学考一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。
）1.已知集合A=｛1,2,3｝，B ｛1,3,4,｝，则A ∪B= （ ） A.｛1,3｝ B.｛1,2,3｝ C.｛1,3,4｝ D.｛1,2,3,4｝2.已知向量a=（4,3），则|a|= （ ） A.3 B.4 C.5 D.73.设θ为锐角，sin θ=31，则cos θ= （ ） A.32 B.32 C.36 D.3224.log 241= （ ）A.-2B.-21C.21D.25.下面函数中，最小正周期为π的是 （ ） A.y=sin x B.y=cos x C.y=tan x D.y=sin 2x6.函数y=112++-x x 的定义域是 （ ） A.(-1,2] B.[-1,2] C.(-1,2) D.[-1,2) 7.点（0,0）到直线x +y-1=0的距离是 （ ）A.22 B.23C.1D.2 8.设不等式组⎩⎨⎧-+-0＜420＞y x y x ，所表示的平面区域为M ，则点（1,0）（3,2）（-1,1）中在M内的个数为 （ ） A.0 B.1 C.2 D.3 9.函数f(x )=x ·1n|x |的图像可能是 （ ）10.若直线l 不平行于平面α，且α⊄l 则 （ ） A.α内所有直线与l 异面 B.α内只存在有限条直线与l 共面 C.α内存在唯一的直线与l 平行 D.α内存在无数条直线与l 相交11.图（1）是棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1截去三棱锥A 1—AB 1D 1后的几何体，将其绕着棱DD 1逆时针旋转45°，得到如图（2）的几何体的正视图为 （ ）2222222222222222A. B. C. D. 12.过圆x 2+y 2-2x-8=0的圆心，且与直线x+2y=0垂直的直线方程是 （ ） A.2x-y+2=0 B.x+2y-1=0 C.2x+y-2=0 D.2x-y-2=013.已知a,b 是实数，则“|a|＜1且|b|＜1”是“a 2+b 2＜1”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.设A ，B 为椭圆2222by a x +=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点，P 为椭圆上异于A ，B 的点，直线PA ，PB 的斜率分别为k 1,k 2.若k 1k 2=-43，则该椭圆的离心率为 （ ）A.41B.31C.21D.2315.数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =23a n -n, n ∈N ﹡,则下列为等比数列的是 （ ）A.{a n +1}B.{a n -1}C.{S n +1}D.{S n -1} 16.正实数x ，y 满足x+y=1，则yx y 11++的最小值是 （ ） A.3+2 B.2+22 C.5 D.21117.已知1是函数f (x )=a x 2+b x +c(a ＞b ＞c)的一个零点，若存在实数0x ，使得f (0x )＜0,则f (x )的另一个零点可能是 ( )A.0x -3B.0x -21C.0x +23D.0x +218.等腰直角△ABC 斜边BC 上一点P 满足CP ≤41CB ，将△CAP 沿AP 翻折至△C ′AP ，使二面角C ′—AP —B 为60°记直线C ′A ，C ′B ，C ′P 与平面APB 所成角分别为α，β，γ，则 （ ） A.α＜β＜γ B.α＜γ＜β C.β＜α＜γ D.γ＜α＜β 二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分。
）19.设数列{a n }的前n 项和S n ，若a n =2n-1,n ∈N ﹡,则a 1= ，S 3= .20.双曲线16922y x -=1的渐近线方程是 . 21.若不等式∣2x -a ∣+∣x +1∣≥1的解集为R ，则实数a 的取值范围是 . 22.正四面体A —BCD 的棱长为2，空间动点P PC PB =2，则•的取值范围是 .三、解答题（本大题共3小题，共31分。
）23.（本题10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 已知cos A=21. （1）求角A 的大小；（2）若b=2，c=3，求a 的值； （3）求2sinB+cos(6+B)的最大值.24.（本题10分）如图，抛物线x 2=y 与直线y=1交于M ，N 两点.Q 为抛物线上异于M ，N 的 任意一点，直线MQ 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，直线NQ 与x 轴、y 轴分别交于C ，D. （1）求M ，N 两点的坐标；（2）证明：B ，D 两点关于原点O 对称； （3）设△QBD ，△QCA 的面积分别为S 1，S 2，若点Q 在直线y=1的下方，求S 2-S 1的最小值.25.（本题11分）已知函数g(x )=-t ·21+x -31+x ,h(x )=t ·x x 32-，其中x ，t ∈R. （1）求g(2)-h(2)的值（用t 表示）； （2）定义[1，+∞）上的函数)(x f 如下：[)[)⎩⎨⎧+∈-∈=12,2),(,2,12),()(k k x x h k k x x g x f （k ∈N ﹡）.若)(x f 在[1，m ）上是减函数，当实数m 取最大值时，求t 的取值范围.一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。
每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均你不得分。
）二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分。
）19. 1,9 20.y=x 34±21.(-∞,-4]∪[0,+∞) 22.[0,4] 三、解答题（本大题共3小题，共31分。
）23.解：（1）因为cos A-21,且A 是三角形的内角. 因此A=3π（2）由余弦定理知a 2=b 2+c 2-2bccosA =7. 因此a=7 （3）因为2sin B+cos(6π+B)=23sin B+23cos B=3sin(B+6π). 又0＜B ＜32π. 所以，当B-3π时，2sinB+cos(6π+B)取最大值3. 24.解：（1）由⎩⎨⎧==12y x y ，解得⎩⎨⎧=-=11y x ，或⎩⎨⎧==11y x .因此M ，N 的坐标为M （-1,1），N （1,1）.（2）设点Q 的坐标为Q （0x ，20x ），则 直线MQ 的方程为y=(0x -1)（x +1）+1. 令x =0.得点B 的坐标为B （0，0x ）. 直线NQ 的方程为y=(0x +1)（x -1）+1. 令x =0.得点D 的坐标为D （0，-0x ）. 综上所述，点B ，D 关于原点O 对称. （3）由（2）得∣BD ∣=2∣0x ∣，因此S 1=21.∣BD ∣·∣0x ∣=20x . 在直线MQ 的方程中，令y=0，得A （1x x -，0） 在直线NQ 的方程中，令y=0，得C （1x x +，0）. 因此|AC|=|001x x --001x x +|=20212x x -， S 2=21·|AC|·20x =20401x x -， S 2-S 1=2401x x --20x =2024012x x x --， 令t=1-20x ，由题意得-1＜0x ＜1，所以0＜t ≤1， 因此S 2-S 1=（2t+t1)-3≥22-3, 当且仅当t=22，即0x =222-±时取等号.综上所述，S 2-S 1的最小值是22-3.25.解：（1）g(2)-h(2)=-12t-18.（2）由g(2)≥h(2)及h(3)≥g(3),得-49≤t ≤-23，此时g(4)-h(4)=-48t-162＜0, 所以m ≤4.①任取x 1x 2∈[1，+∞），且x 1＜x 2，那么112+x ＞0.因为 （23)12+x +t ＞(23)11+x +t ≥49+t ≥0,所以212+x [(23)12+x +t]＞211+x [(23)11+x +t]. 因此g(1x )-g(2x )=(-t ·211+x -311+x )-(-t212+x -312+x )=212+x [(23)12+x +t]-211+x [(23)11+x +t]＞0, 即g(1x )＞g(2x ) .从而g(x )在[1，+∞]上为减函数，故g(x )在[3,4）上都是减函数，②因为-49≤t ≤-23，所以h(x )=t ·2x -3x在[2,3）上为减函数.综上所述，)(x f 在[1,m)上是减函数，实数m 的最大值为4，此时t 的取 值范围是[-49，-23].。