第22章测试题得分________ 卷后分________ 评价________一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列方程是一元二次方程的是(A )A ．x 2＝－1B ．x 2＋1x＝1＝0 C ．x 2＋y ＋1＝0 D ．x 3－2x 2＝1 2．关于x 的一元二次方程(m ＋1)xm 2＋1＋4x ＋2＝0的解为(C )A ．x 1＝2，x 2＝1B ．x 1＝x 2＝1C ．x 1＝x 2＝－1D ．无解3．若关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则m 的值可以是(D )A ．0B ．－1C ．2D ．－34．将方程x 2－6x －5＝0化为(x ＋m )2＝n 的形式，则(D )A ．m ＝3，n ＝5B ．m ＝－3，n ＝5C ．m ＝3，n ＝14D ．m ＝－3，n ＝145．若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2－52ax ＋a 2＝0的一个根，则a 的值为(B ) A ．1或4 B ．－1或－4 C ．－1或4 D ．1或－46．下列关于x 的一元二次方程，有实数根的是(D )A ．x 2＋1＝0B ．x 2＋x ＋1＝0C ．x 2－x ＋1＝0D ．x 2－x －1＝07．已知关于x 的方程14x 2－(m －3)x ＋m 2＝0有两个不相等的实数根，那么m 的最大整数值是(D )A ．2B ．－1C ．0D ．18．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x ，那么x 满足的方程是(B )A ．100(1＋x )2＝81B ．100(1－x )2＝81C ．100(1－x %)2＝81D ．100x 2＝819．若方程x 2＋x －1＝0的两实数根为α，β，那么下列说法不正确的是(D )A ．α＋β＝－1B ．αβ＝－1C ．α2＋β2＝3D ．1α ＋1β＝－1 10．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x 2－16x ＋60＝0的一个实数根，则该三角形的面积是(B )A ．24B ．24或85C ．48或165D ．85二、填空题(每小题3分，共15分)11．一元二次方程2x 2＋ax ＋2＝0的一个根是x ＝2，则它的另一个根是__12 __． 12．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋1＝0有实数根，则m 的取值范围是_m ≤54 且m ≠1_．13．(2019·南京)已知2＋3 是关于x 的方程x 2－4x ＋m ＝0的一个根，则m ＝__1__．14．现有一块长80 cm 、宽60 cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm 的小正方形，做成一个底面积为1 500 cm 2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得__x 2－70x ＋825＝0__．15．将4个数a ，b ，c ，d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ，定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d＝ad －bc ，上述记号就叫做2阶行列式．若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 x －11－x x ＋1 ＝6，则x ＝． 三、解答题(共75分)16．(12分)用适当的方法解方程：(1)5x (2x ＋7)＝3(2x ＋7); (2)x 2＋2x ＝4；解：(1)x 1＝－72 ，x 2＝35解：(2)x 1＝－1＋5 ，x 2＝－1－5(3)3x 2＋4x －7＝0; (4)4(x ＋2)2－9(x －3)2＝0.解：(3)x 1＝1，x 2＝－73解：(4)x 1＝1，x 2＝1317．(7分)在解方程x 2＋px ＋q ＝0时，小张看错了p ，解得方程的根为1与－3，小王看错了q ，解得方程的根为4与－2，你知道这个方程正确的根是多少吗？解：∵x 2＋px ＋q ＝0.小张是看错了p ，方程的两根为1和－3，∴q 是正确的，即1×(－3)＝q ，q ＝－3.而x 2＋px ＋q ＝0.小王看错了q ，方程的两根为4与－2，∴p 是正确的，即4＋(－2)＝－p ，∴p ＝－2，∴原方程应为x 2－2x －3＝0，解得x 1＝3，x 2＝－1，∴这个方程正确的两根为3与－118．(8分)已知关于x的方程(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的常数项为0.(1)求m的值；(2)求方程的解．解：(1)∵关于x的方程(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的常数项为0，∴m2－3m＋2＝0.解得m1＝1，m2＝2.∴m的值为1或2(2)当m＝2时，代入(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0，得x2＋5x＝0.解得x1＝0，x2＝－5；当m＝1时，原方程化简，得5x＝0，解得x＝019.(8分)(邓州期中)已知关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋4(k －12)＝0. (1)求证：无论k 取何值，这个方程总有实数根；(2)若等腰三角形ABC 的一边长a ＝4，另两边b 、c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长．解：(1)证明：Δ＝(2k ＋1)2－4×4(k －12)＝4k 2＋4k ＋1－16k ＋8＝4k 2－12k ＋9＝(2k －3)2，∵(2k －3)2≥0，即Δ≥0，∴无论k 取何值，这个方程总有实数根(2)当b ＝c 时，Δ＝(2k －3)2＝0，解得k ＝32，方程化为x 2－4x ＋4＝0，解得b ＝c ＝2，而2＋2＝4，故舍去；当a ＝b ＝4或a ＝c ＝4时，把x ＝4代入方程得16－4(2k ＋1)＋4(k －12 )＝0，解得k ＝52，方程化为x 2－6x ＋8＝0，解得x 1＝4，x 2＝2，即a ＝b ＝4，c ＝2或a ＝c ＝4，b ＝2，所以△ABC 的周长＝4＋4＋2＝1020．(8分)某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．(1)求每个月生产成本的下降率；(2)请你预测4月份该公司的生产成本．解：(1)设每个月生产成本的下降率为x ，根据题意，得400(1－x )2＝361，解得x 1＝0.05＝5%，x 2＝1.95(不合题意，舍去).答：每个月生产成本的下降率为5%(2)361×(1－5%)＝342.95(万元).答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元21．(10分)如图，要建一个面积为150 m 2的长方形养鸡场，为了节省材料，鸡场的一边靠着原有的一堵墙，墙长a m ，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35 m.(1)求鸡场的长与宽各为多少？(2)题中墙的长度a(m)为题目的解起怎样的作用？解：(1)设鸡场的宽为x m，依题意得x(35－2x)＝150，解得x1＝10，x2＝7.5.当宽为10 m，长为35－2x＝15(m)；当宽为7.5 m时，长为35－2x＝20(m)(2)由(1)题结果可知：题目中墙长a(m)对于问题的解有严格的限制作用．∵当a<15时，问题无解；当15≤a<20时，问题有一解；当a≥20时，可建宽为10 m，长为15 m或宽为7.5 m，长为20 m两种规格的鸡场22．(10分)某水果经销商上月份销售一种新上市的水果，平均售价为10元/千克，月销售量为1 000千克．经市场调查，若将该种水果价格调低至x元/千克，则本月份销售量y(千克)与x(元/千克)之间符合一次函数关系式y＝kx＋b，当x＝7时，y＝2 000；当x＝5时，y ＝4 000.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)已知该种水果上月份的成本价为5元/千克，本月份的成本价为4元/千克，要使本月份销售该种水果所获利润比上月份增加20%，同时又要让顾客得到实惠，那么该种水果价格每千克应调低至多少元？(利润＝售价－成本价)解：(1)y＝－1 000x＋9 000(2)由题意可得1 000(10－5)(1＋20%)＝(－1 000x＋9 000)(x－4)，整理得x2－13x＋42＝0，解得x1＝6，x2＝7(舍去)，所以该种水果价格每千克应调低至6元23．(12分)阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想－－转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3＋x2－2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x(x2＋x－2)＝0，解方程x＝0和x2＋x－2＝0，可得方程x3＋x2－2x＝0的解．(1)问题：方程x3＋x2－2x＝0的解是x1＝0，x2＝__－2__，x3＝__1__；(2)拓展：用“转化”思想求方程2x＋3＝x的解；(3)应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝8 m，宽AB＝3 m，小华把一根长为10 m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C.求AP的长．解：(2)2x＋3＝x，方程的两边平方，得2x＋3＝x2，即x2－2x－3＝0，(x－3)(x＋1)＝0，∴x－3＝0或x＋1＝0，∴x1＝3，x2＝－1，当x＝－1时，2x＋3＝1＝1≠－1，所以－1不是原方程的解．所以方程2x＋3＝x的解是x＝3(3)因为四边形ABCD是矩形，所以∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝3 m，设AP＝x m，则PD＝(8－x) m，因为BP＋CP＝10，BP＝AP2＋AB2，CP＝CD2＋PD2，∴9＋x2＋（8－x）2＋9＝10，∴（8－x）2＋9＝10－9＋x2，两边平方，得(8－x)2＋9＝100－209＋x2＋9＋x2，整理，得5x2＋9＝4x＋9，两边平方并整理，得x2－8x＋16＝0，即(x －4)2＝0，所以x＝4.经检验，x＝4是方程的解．答：AP的长为4 m。