因为 P A = P D，
所以 P H ⊥ AD，
因为 平面 P AD ⊥ 平面 ABCD，P H ⊂ 平面 P AD，平面 P AD ∩ 平面 ABCD = AD，
所以 P H ⊥ 平面 ABCD，
所以 BH 是 P B 在平面 ABCD 内的射影，
所以 ∠P BH 就是 P B 与平面 ABCD 所成的角，在等腰 Rt△P AD 中，
4
所以 −A→P = 1 (−A−→B + −A→C)，
又因为
−−→ BC
4 =
−→ AC
−
−A−→B，
所以
−→ AP
·
−−→ BC
=
1
(AC2 − AB2) = − 3 ．
4
4
16. （1）（2）（3） 解析：因为 BD ⊥ OC，BD ⊥ OA，
所以 BD ⊥ 面 AOC，
所以 BD ⊥ AC，①正确；
cos ∠ADC = cos 45◦ · cos 45◦ = 1 ，∠ADC = 60◦， 2
AD = DC，△ADC 为正√三角形，√ ②正确；
VC−BDA =
1 3
·
1 2
· a2 ·
2a= 2
2 a3，③正确； 12
AB 与平面 BCD 所成角 ∠ABD = 45◦，④错误．
17.
(1) N H∥AM ，
线 P A 与 BE 所成角的大小为
．
15. 在 △ABC 中，∠BAC = 90◦，AB = 2AC，M 是 BC 的中点，点 N 在线段 AB 上，−N−→B = 2−A−→N ，CN 与
AM
交于点
P ，AC
=
1，−A→P
·
−−→ BC
=
．
16. 把边长为 α 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角，对于下列结论正确的有
点 C 到平面 ABC1 的距离为 ( )
A. 3
B. 1
4
√ C. 3
D. 3 2
11. 已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的表面积为
．
12. 已知三棱锥 D − ABC 的三个侧面与底面全等，且 AB = AC = √3，BC = 2，则以 BC 为棱，以平面 BCD
4，∠B1BC
=
60◦，
所以三棱锥 B1 − ABC 的体积即为三棱锥 A − B1BC 的体积 V
=
1 3
×
√ 43
×
√ 23
=
8．
20.
(1) 因为 AF ⊥ 平面 P BD，P B ⊂ 平面 P BD，
所以 P D ⊥ AF ．
因为 P A ⊥ P D，P A ∩ AF = A，
所以 P D ⊥ 平面 P AB，
因为 AB ⊂ 平面 P AB，
所以 P D ⊥ AB．
(2) 因为 ABCD 是正方形，
所以 AB ⊥ AD．
因为 P D ⊥ AB，AD ∩ P D = D，
所以 AB ⊥ 平面 P AD，
因为 AB ⊂ 平面 ABCD，
所以 平面 P AD ⊥ 平面 ABCD．
(3) 取 AD 的中点 H，连接 P H，BH，
天津一中高一下学期数学期中考试试卷
1. 设 x√, y ∈ R，向量 −→a = (x, 1√)，−→b = (1, y)，−→c = (2, −√4)，且 −→a ⊥ −→c ，−→b ∥−→c ，则 |−→a + −→b | =(
)
A. 5
B. 10
C. 2 5
D. 10
2. 下列说法正确的是 ( )
又 P A = 2，Rt△BEO 中，EO = 1，BO = AO = 1，得 △BEO 为等腰直角三角形，
故异面直线 P A 与 BE 所成角为 45◦．
15. − 3 解析：由题意，AB = 2，AC = 1． 设4−A−M→ = t−A→P ，
因为 M
为
BC
中点，则
−−→ AM
=
1
−−→ AB
因为 AD = 2，H 是 AD 中点，
所以 P H = 1．
在 Rt△BAH 中，
因为 AH = 1，AB = 2，
所以 所以
BH PB
= √√5， = PH2
+
BH2
=
√6，√
所以 sin ∠P BH = P H = √1 = 6 ．
PB
66
=
√2，且 DM
⊥
B C ，AM
⊥
B C ，即
∠DM A 就是所要求的二面角．由 AD = 2 可得此三角形为直角三角形，即此二面角为 π ．
√
2
13. 3
3 14. 45◦ 或
π
4
解析：如图，
由题意易知 ∠P AC = 60◦，
因为 EO ∥ P A，
所以 ∠BEO 为异面直线 P A 与 BE 所成角，
．
（1）AC ⊥ BD；
（2）△ADC 是正三角形；
√
（3）三棱锥 C − ABD 的体积为 2 a3；
12
（4）AB 与平面 BCD 成角 60◦．
17. 如图，已知四边形 ABCD 是矩形，P A ⊥ 平面 ABCD，M ，N 分别是 AB，P C 的中点． (1) 求证：M N ∥平面 P AD；
19. 如图，在棱长均为 4 的三棱柱 ABC − A1B1C1 中，D，D1 分别是 BC 和 B1C1 的中点． (1) 求证：A1D1∥平面 AB1D． (2) 若 平面 ABC ⊥ 平面 BCC1B1，∠B1BC = 60◦，求三棱锥 B1 − ABC 的体积．
20. 如图，在四棱锥 P −ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，P A = P D，P A ⊥ P D， F 为 P B 上的点，且 AF ⊥ 平面 P BD． (1) 求证：P D ⊥ AB； (2) 求证：平面 P AD ⊥ 平面 ABCD． (3) 求直线 P B 与平面 ABCD 所成角的正弦值．
与平面 BCA 为面的二面角的大小是
．
13. 已知 −→e1 ，−→e2 是互相垂直的单位向量，若 √3−→e1 − −→e2 与 −→e1 + λ−→e2 的夹角为 60◦，则实数 λ 的值是
．
14. 在正四棱锥 P − ABCD 中，P A = 2，直线 P A 与平面 ABCD 所成角为 60◦，E 为 P C 的中点，则异面直
D. 5 对
4. 已知 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ 是三个不同的平面，则下列命题正确的是 ( )
A. 若 m ⊂ α，n ⊂ β，m ∥ n，则 α∥β
B. 若 m ⊂ α，n ⊂ α，m ∥β，n ∥β，则 α∥β
C. 若 α ⊥ γ，β ⊥ γ，则 α∥β
D. 若 m ⊥ α，m ⊥ β，则 α∥β
（1）任意三点确定一个平面；
（2）圆上的三点确定一个平面；
（3）任意四点确定一个平面；
（4）两条平行线确定一个平面；
A. （1）（2）
B. （2）（3）
C. （2）（4）
D. （3）（4）
3. 如图 P A 垂直于矩形 ABCD 所在的平面，则图中互相垂直的平面有 ( )
A. 2 对
B. 3 对
C. 4 对
(2) 若 P A = AD，求证：M N ⊥ 平面 P CD．
18. 如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 BC 边上的中点，点 F 在边 CD 上．
(1) 若点
F
是
CD
上靠近
C
的三等分点，设
−−→ EF
=
−−→ λAB
+
µ−A−→D，求
λ+µ
的值；
(2) 若 AB = √3，BC = 2，当 −A→E · −B−→F = 1 时，求 DF 的长．
所以 −D−→F = 2 −D−→C = 2 √3．
3
3
19.
(1) 连接 DD1，
在三棱柱 ABC − A1B1C1 中，
因为 D，D1 分别是 BC 和 B1C1 的中点． 所以 B1D1∥ BD，且 B1D1 = BD， 所以四边形 B1BDD1 为平行四边形， 所以 BB1∥ DD1，且 BB1 = DD1， 又因 AA1∥ BB1，AA1 = BB1， 所以 AA1∥ DD1，AA1 = DD1， 所以四边形 AA1D1D 为平行四边形， 所以 A1D1∥ AD． 又 A1D1 ̸⊂ 平面 AB1D，AD ⊂ 平面 AB1D， 故 A1D1∥平面 AB1D． (2) 在 △ABC 中，因三棱柱的棱长均为 4，则 AB = AC，D 为 BC 的中点，
A. 8 cm3
B. 12 cm3
C. 32 cm3 3
D. 40 cm3 3
7. 如图，在直角梯形 ABCD 中，AB ∥ DC，AD ⊥ DC，AD = DC = 2AB，E 为 AD 的中
点，若
−→ CA
=
−−→ λC E
+
µ−D−→B，则
λ
+
µ
的值为
(
)
A. 6
B. 8
C. 2
5
5
D. 8 3
+
1
−→ AC
=
t−A→P ，
又因为 C，P ，N
三点共线且
−−→2 AN
=
1 −A−→B2 ，
所以
−→ AP
=
−−→ λAN
+
−→ µAC
=
λ
−−→ AB
+
µ3−A→C ，λ