线性代数B 期末试题一、判断题(正确填T ,错误填F 。
每小题2分,共10分)1. A 是n 阶方阵,R ∈λ,则有A A λλ=。
( )2. A ,B 是同阶方阵,且0≠AB ,则111)(---=A B AB 。
( )3.如果A 与B 等价,则A 的行向量组与B 的行向量组等价。
( ) 4.若B A ,均为n 阶方阵,则当B A >时,B A ,一定不相似。
( )5.n 维向量组{}4321,,,αααα线性相关,则{}321,,ααα也线性相关。
( )二、单项选择题(每小题3分,共15分)1.下列矩阵中,( )不是初等矩阵。
(A )001010100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (B)100000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (C) 100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(D) 100012001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 2.设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组中线性无关的是( )。
(A )122331,,αααααα--- (B )1231,,αααα+ (C )1212,,23αααα- (D )2323,,2αααα+3.设A 为n 阶方阵,且250A A E +-=。
则1(2)A E -+=( ) (A) A E - (B) E A + (C) 1()3A E - (D) 1()3A E +4.设A 为n m ⨯矩阵,则有( )。
(A )若n m <,则b Ax =有无穷多解;(B )若n m <,则0=Ax 有非零解,且基础解系含有m n -个线性无关解向量;(C )若A 有n 阶子式不为零,则b Ax =有唯一解; (D )若A 有n 阶子式不为零,则0=Ax 仅有零解。
5.若n 阶矩阵A ,B 有共同的特征值,且各有n 个线性无关的特征向量,则( )(A )A 与B 相似 (B )A B ≠,但|A-B |=0(C )A=B (D )A 与B 不一定相似,但|A|=|B|三、填空题(每小题4分,共20分)1.01210n n -。
2.A 为3阶矩阵,且满足=A 3,则1-A =______,*3A =。
3.向量组1111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2025α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,3247α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,4120α⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭是线性 (填相关或无关)的,它的一个极大线性无关组是 。
4. 已知123,,ηηη是四元方程组Ax b =的三个解,其中A 的秩()R A =3,11234η⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,234444ηη⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则方程组Ax b =的通解为 。
5.设23111503A a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,且秩(A )=2,则a = 。
四、计算下列各题(每小题9分,共45分)。
1.已知A+B=AB ,且121342122A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,求矩阵B 。
2.设(1,1,1,1),(1,1,1,1)αβ=--=--,而TA αβ=,求n A 。
3.已知方程组1123211232123x x ax x x x x ax x a ⎧++=-⎪⎪-+=-⎨⎪⎪-++=⎩有无穷多解,求a 以及方程组的通解。
4.求一个正交变换将二次型化成标准型32312123222132184422),,(x x x x x x x x x x x x f ++---=5. A ,B 为4阶方阵,AB+2B =0,矩阵B 的秩为2且|E+A |=|2E -A |=0。
(1)求矩阵A 的特征值;(2)A 是否可相似对角化?为什么?;(3)求|A+3E |。
五.证明题(每题5分,共10分)。
1.若A 是对称矩阵,B 是反对称矩阵,AB BA -是否为对称矩阵?证明你的结论。
2.设A 为m n ⨯矩阵,且的秩()R A 为n ,判断TA A 是否为正定阵?证明你的结论。
线性代数试题 (二)一、 填空(每题2分,共20分) 1. N (n12…(n-1))= 。
2. 设D 为一个三阶行列式,第三列元素分别为-2,3,1,其余子式分别为9,6,24,则D= 。
3. 关于线性方程组的克莱姆法则成立的条件是 ,结论是 。
4. n 阶矩阵A 可逆的充要条件是 ,设A *为A 的伴随矩阵,则A -1= 。
5. 若n 阶矩阵满足A 2-2A-4I=0,则A -1= 。
6. ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43214321= , ()43214321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 。
7. 设向量组321,,ααα线性相关,则向量组332211,,,,,βαβαβα一定线性 。
8. 设A 三阶矩阵,若A=3,则1-A = ,*A = 。
9. n 阶可逆矩阵A 的列向量组为n ααα ,,21,则r(n ααα ,,21)= 。
10.非齐次线性方程组A n m ⨯X=b 有解的充要条件是 。
二、单项选择题(10分,每题2分)1.1221--k k 0≠的充要条件是( )。
(a ) k 1≠(b ) k 3≠(c ) k 3,1≠-≠k 且(d )k 3,1≠-≠k 或 2. A,B,C 为n 阶方阵,则下列各式正确的是( ) (a) AB=BA (b) AB=0,则A=0或B=0(c) (A+B )(A-B )=A 2-B 2 d) AC=BC 且C 可逆,则A=B 3. 设A 为n 阶可逆矩阵,则下述说法不正确的是( )(a) A ,0≠(b) 1-A 0≠(c) r(A)=n (d) A 的行向量组线性相关4. 设矩阵A =(a ij )n m ⨯,AX=0仅有零解的充要条件是( ) (a)A 的行向量组线性无关 (b)A 的行向量组线性相关 (c)A 的列向量组线性无关 (d)A 的列向量组线性相关5. 向量组 s ααα ,,21的秩为r,则下述说法不正确的是( ) (a) s ααα ,,21中至少有一个r 个向量的部分组线性无关(b) s ααα ,,21中任何r 个向量的线性无关部分组与s ααα ,,21可互相线性表示(c) s ααα ,,21中r 个向量的部分组皆线性无关 (d) s ααα ,,21中r+1个向量的部分组皆线性相关三、判断题(正确的划√,错误的划х,共10分,每题2分) 1.5级排列41253是一个奇排列。
( )2.A 为任意的m n ⨯矩阵, 则A T A, AA T 都是对称矩阵。
( )3.s ααα ,,21线性无关,则其中的任意一个部分组都线性无关。
( )4.行列式00010010********=-1 ( )5.若两个向量组可互相线性表示,则它们的秩相等。
( ) 四、计算n 阶行列式(12分)x aaaaa a x a a a a a x a a a a a x2.解矩阵方程AX=A+X,其中A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121011322(13分) 注:A 不可逆,修改为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2210113223.求向量组)1,3,2(),0,1,1(),2,4,2(321===ααα,)2,5,3(4=α的极大线性无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示。
(10分) 4.用消元法解下列方程组。
(15分)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+--=+--=-+-212201432143214321x x x x x x x x x x x x 五、证明题 (从下列三题中任选两道, 每题5分,共10分) 1.设向量组3,2,1ααα线性无关,证明1α,21αα+,321ααα++也线性无关。
(5分)2.已知向量组γβα,,线性无关,而向量组ηγβα,,,线性相关,试证明:(1)向量η一定可由向量组γβα,,线性表示; (2)表示法是唯一的。
(5分)3. A,B 是同阶对称矩阵,证明:AB 为对称矩阵的充要条件是A 与B 可交换。
(5分)线性代数试题(一)答案一.(1). 2)1(-n n (2). –12(3). 线性方程组的系数行列式0≠D ;方程组有唯一解且D D x Jj =(4).0≠A ;*1A A (5). )2(41I A -(6). 30,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1612841296386424321(7). 相关 (8). 31, 9 (9). n (10). ()()A r b A r =二.(1)C (2)D (3)D (4)C (5)C 三.(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√ 四.(1). 1)(])1([--⋅-+n a x a n x(2). ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=2104304123123X(3).极大线性无关组为21,αα214213;21αααααα+=+=(4) 全部解为:()()T T Tc c 1,1,0,00,0,1,10,21,0,2121++⎪⎭⎫ ⎝⎛(c 1 ,c 2为任意常数)五.略线性代数试题解答(04)一、1.(F )(A A nλλ=) 2.(T )3.(F )。
如反例:100010000A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,000010001B ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
4.(T )(相似矩阵行列式值相同) 5.(F ) 二、1.选B 。
初等矩阵一定是可逆的。
2.选B 。
A 中的三个向量之和为零,显然A 线性相关; B 中的向量组与1α,2α,3α等价, 其秩为3,B 向量组线性无关;C 、D 中第三个向量为前两个向量的线性组合,C 、D 中的向量组线性相关。
3.选C 。
由052=-+E A A ⇒()2232()3A A E E A E A E E +-=⇒+-=, ()112()3A E A E -⇒+=-)。
4.选D 。
A 错误,因为n m <,不能保证()(|)R A R A b =;B 错误,0=Ax 的基础解系含有()A R n -个解向量;C 错误,因为有可能()(|)1R A n R A b n =<=+,b Ax =无解;D 正确,因为()R A n =。
5.选A 。
A 正确,因为它们可对角化,存在可逆矩阵,P Q ,使得1112(,,,)n PAP diag QBQ λλλ--== ,因此,A B 都相似于同一个对角矩阵。
三、1.()!11n n +-(按第一列展开)2. 31;53(*A 3=233A )3. 相关(因为向量个数大于向量维数)。
124,,ααα。
因为3122ααα=+,124| |0A ααα=≠。
4.()()TTk 42024321--+。
因为()3=A R ,原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量,取为1322ηηη-+,由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。
5.6=a (())02=⇒=A A R 四、1.解法一:AB B A =+⇒()1()A E B A B A E A --=⇒=-。