FP
M BC -3iZ1
A
M BA M BC 0
1 Z1 56i FPl
3 M BA 56 FPl 当附加约束产生实际位移时，建立附加约束的
平衡方程，求解附加约束的位移，进而根据形
常数和载常数绘出各杆的内力图。
25
平衡方程法
以某些结点的位移为基本未知量 将结构拆成若干具有已知力-位移(转 角-位移)关系的单跨梁集合 分析各单跨梁在外因和结点位移共同 作用下的受力 将单跨梁拼装成整体 用平衡条件消除整体和原结构的差别, 建立和位移个数相等的方程 求出基本未知量后,由单跨梁力-位移关 系可得原结构受力
B 结点位移状态的一
致性。
18
P
A θA
C
θA
实现位移状态可分两步完成
1）在可动结点上附加约束， 限制其位移，在荷载作用下， 附加约束上产生附加约束力；
B 分析：
2）在附加约束上施加外力， 使结构发生与原结构一致的结 点位移。
1）叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及 位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；
2）结点位移计算方法：对比两结构可发现，附加约束上 的附加内力应等于0，按此可列出基本方程。
19
位移法基本思路
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
C
βA
Z1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A θA
Z1P
q ql2/12
q
ql2/12 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
C
C
Z1P
ql 2 Z1P - 12
l
EI=常数
B l
Z1=0
A A
26
2.典型方程法
图示各杆长度为 l ,EI 等于常数,分布集度q,
集中力FP ,力偶M .如何求解?
以A 点转角做
M
q
Δ
FP FP
基本未知量,设
为 .在A 施加
限制转动的约 束,以如图所示
体系为基本体
FFP P
系(基本结构的
定义和力法相
仿).
27
根据两图结点平衡 可得附加约束反力
利用“载常数”可作 利用“形常数”可作
位移法的基本未知量是独立的结点位移；基本体系是将 基本未知量完全锁住后，得到的超静定梁的组合体。
1、基本未知量的确定：结点角位移的数目=刚结点的数目
为了减小结点线
位移数目，假定： Δ
①忽略轴向变形，
P P
②结点转角和弦转
12 EI 2 3 6EI 21
l 3EI
X1
-
l 6EI
X2
1
-
l 6EI
X1
l 3EI
X2
0
4EI
2EI
X1 l 4i, X 2 l 2i
1
X1
X2
X1=1
1
M1
1/l
1
M2
X2=1 1/l
9
用力法求解单跨超静定梁
Δ
X X
11 1
12 2
1C
A
X X X2
21 1
22 2
第7章 位移法
Displacement Method
基本要求：
掌握 位移法基本结构的确定，位移法典型方程的建立，方程中的系 数和自由项的计算，最后弯矩图的绘制。 熟练掌握 用位移法计算超静定梁、刚架和排架问题。 重点掌握 荷载作用下的超静定结构计算 掌握 剪力图和轴力图的绘制、利用对称性简化计算。 了解 温度改变、支座移动下的超静定结构计算。
AB BA
4i A 2i A
2i B 4i B
-
6i 6i
l l
(1)
MAB
A
EI l
（2）远端为固定铰支座 MAB
A
EI l
MBA
因B = 0，代入(1)式可得
M AB
4i A
-
6i l
M BA
2i A
-
6i l
因MBA = 0，代入(1)式可得
2iB
-i A
3i
l
将上式代入(1)式
因此，位移法分析中应解决的问题是：①确定单跨梁在各 种因素作用下的杆端力。②确定结构独立的结点位移。③建立 求解结点位移的位移法方程。
为减少基本未知量，这里仍然隐含梁或刚架不考虑轴向变形这 一假设。
3
位移法基本思路
简例:求各杆轴力。 ✓ 图（a）所示，选取竖向位移Δ为基本未知量 ✓ 图（b）所示，已知轴向位移ui，则，
Δ1=δ11X1 + Δ1P=0
11
1 EI
l2 2
2l 3
l3 3EI
1P
-
1 EI
1 3
ql 2 2
l
3l 4
- ql 4 8EI
X1=－Δ1P / δ11 =3ql/8
各种单跨超静定梁在各 种荷载作用下的杆端力均可 按力法计算出来，这就制成 了载常数表
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
M AB
3i A
-
3i l
M AB 0
11
（3）远端为定向支座
M M
AB BA
4i A 2i A
2i B 4i B
- 6i - 6i
l l
(1)
MAB
A
EI
l
QAB
QBA
-
6i l
A
-
6i l
B
12i l2
(2)
因 B 0, QAB QBA 0
代入（2）式可得
l
1 2
A
又B = 0，代入(1)式可得
的单跨超静定梁的杆端力
用力法求解 i=EI/l
4i
M AB 4i, M BA 2i
MAB>0
1
θB
QBA MBA
MBA<0
2i M
8
Δ
用力法求解单跨超静定梁
11X1 12 X 2 1
21X1 22 X 2 0
1 l•12 l
11 EI 2 3 3EI 22
- 1 1•l 1 - l
2
§7-1 位移法的基本概念
1、超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力
方面和变形方面与原结构完全一样。
力法的特点： 基本未知量——多余未知力； 基本体系——静定结构； 基本方程——位移条件
（变形协调条件）。
位移法的特点：
？ 基本未知量—— 独立结点位移
基本体系——一组单跨超静定梁 基本方程—— 平衡条件
图示荷载弯矩图
图示单位弯矩图
28
典型方程法
以位移为基本未知量,先“固定”（不产 生任何位移）
考虑外因作用，由“载常数”得各杆受 力,作弯矩图。
令结点产生单位位移（无其他外因）， 由“形常数” 得各杆受力,作弯矩图。
两者联合原结构无约束，应无附加约束 反力（平衡）.
列方程可求位移。
29
§7-3 位移法的基本未知量和基本体系
MBA
M AB iA M BA -iA
12
由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数
单跨超静定梁简图
θ=1
A
B
A
θ=1
A A
θ=1
A
B1
B
B
1
B
MAB
4i
-6i l
3i
-3i l
i
MBA
2i
-6i l
0 0
－i
QAB= QBA
-6i l
12i l2
-3i l 3i
l2
0
13
3、载常数:由跨中荷载引 起的固端力
0.637 FPa , EA
FN1 FN5 0.159FP , FN2 FN4 0.255FP , FN3 0.319FP
6
位移法的基本要点
➢ 确定基本未知量 (如B点的竖向位移Δ ） ➢ 建立位移法基本方程 (力的平衡方程)
a. 把结构拆成杆件进行分析，得杆件的刚度方程。 b. 把杆件组合成结构，进行整体分析，得平衡方程。 ➢ 解方程，求位移。再代回刚度方程得杆端力。
mAB
l，EI
M1
l
ql2/2 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
X1=1
MP
ql2/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
M图
ql 2
m -
AB
8
m 0 BA
14
由跨间荷载引起的杆端力称为载常数
单跨超静定梁简图
q
↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓
A
B
P
A
B
q
↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓
B
A
P
A
B
l/2
l/2
21
1.平衡方程法
图示各杆长度为 l ,EI 等于常数,分布集度q,
集中力FP ,力偶M .如何求解?
M
q
Δ
FFP P
FP FP
力法未知数 个数为3,但 独立位移 未知数只
有一(A 点
转角,设为
).
22
利用转角位移 方程可得:
M AD M
M AC
-3i
ql 2 8
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
M AB
-4i
FP l 8
(3)
i 1
即得：
5 i 1
EAi li
sin 2 i
FP
(4)
5
位移法的基本方程
由此解得：
5 i 1
FP
EAi li
sin 2
i
(5)