数学试卷一、选择题1.已知集合260lg 2{|}{|()}A x x x B x y x =-≤==--，，则A B ⋂=( ) A.∅ B. [22)-， C. (2]3， D. (3,)+∞2.设复数z 满足()1i 2i z +=（其中i 为虚数单位），则下列结论正确的是( )A.2z ＝ B.z 的虚部为i C. 22z = D.z 的共轭复数为1i - 3.若函数110,1()lg ,1x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，则()()10f f =( )A.9B.1 C ．110D.0 4.《算法统宗》 中有一图形称为“方五斜七图”，注曰：方五斜七者此乃言其大略矣，内方五尺外方七尺有奇． 实际上，这是一种开平方的近似计算，即用 7 近似表示5 时， 外方的边长为 略大于7,如图所示，在外方内随机取一点，则此点取自内方的概率为( )A ．12 B C ．57 D ．25495.在等比数列{}n a 中， 若263288a a a ==， 则n a =( )A. 12n n a -=B. 2n n a =C. 13n n a -=D. 3n n a = 6.为计算1234171834561920T =⨯⨯⨯⨯⨯⨯L ，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入( )A. W W i =⨯B. ()1W W i =⨯+C. ()2W W i =⨯+D. ()3W W i ⨯+＝7.椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左.右焦点为12,F F ，过2F 垂直于 x 轴的直线交 C 于,A B 两点，若1AF B △为等边三角形，则椭圆 C 的离心率为( )A ．12 B ．2 C ．13D ．38.二项式63)x-的展开式中的常数项为( ) A.－540 B.135 C.270 D.5409.如图,直线2230x y +-=经过函数()sin π0()f x x ωϕωϕ=+><（，）图象的最高点M 和最低点N ，则( )A. π,02ωϕ==B. π,0ωϕ==C. ππ,24ωϕ==-D. ππ,2ωϕ==10.已知双曲线222:1(0)16x y C b b -=> ，12,F F 分别为C 的左.右焦点，过2F 的直线l 交C 的左. 右支分别于,A B 且11AF BF =，则AB =( ) A.4 B.8 C.16 D.3211.设函数()2sin ,[0,π]x f x ae x x =-∈有且仅有一个零点，则实数a 的值为（ ）A π4eB π4-C π2eD π2-12.一个封闭的棱长为 2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为( )A.1D二、填空题13.已知向量()2)1,(3a b m =-=r r ，，,若()a a b ⊥+r r r ,则m =_____． 14.若,x y 满足约束条件3301010x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为_____．15.在四面体ABCD中，1AB BC AC ===，AD CD ⊥，该四面体外接球的表面积为_____．16.已知O 为坐标原点，圆22()11M x y ++=：,圆22() 2 4.,N x y A B +=-：分别为圆M 和圆N 上的动点，则 OAB S △的最大值为_____．三、解答题17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a n +． 1.求,n n S a ； 2.若11(1)n n n n a b S n-+=-⋅+, {}n b 的前n 项和为n T ，求n T ． 18.如图，ABC △中，490AB BC ABC E F ==∠︒，＝，，分别为,AB AC 边的中点，以EF 为折痕把AEF △折起，使点A 到达点P 的位置，且PB BE =．1.证明：BC ⊥平面PBE ；2.求平面PBE 与平面PCF 所成锐二面角的余弦值．19.抛物线2:20C y px p >＝（），斜率为k 的直线l 经过点4,(),0l P -与C 有公共点,A B ，当12k =时，A 与B 重合．1.求C 的方程；2.若A 为PB 的中点，求AB ．20.为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏， 从中部选择河北. 湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区．在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记．由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验．在某普查小区，共有50 家企事业单位，150 家个体经营户，普查情况如下表所示：2.根据列联表判断是否有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；3.以频率作为概率， 某普查小组从该小区随机选择 1 家企事业单位，3 家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的对象数记为X ， 写出X 的分布列，并求X 的期望值．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++21.已知函数ln (),R xf x ax a x=-∈. 1.若()0f x ≥，求a 的取值范围；2.若()y f x =的图像与y a =相切，求a 的值． 22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（其中t 为参数，0πα<<）,以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．1.求l 和C 的直角坐标方程；2.若l 和C 相交于,A B 两点，且8AB =，求α． 四、证明题23.已知 ,a b 是正实数，且2a b +=， 证明： 1.2a b +≤；2.33(4)()a b a b ++≥．参考答案1.答案：C 解析：2.答案：D解析：由(1i)2i z +=，得2i 2i(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===+++-，∴||z =z 的虚部为1，22(1i)2i z =+=，z 的共轭复数为1i -，故选D ．3.答案：B 解析：4.答案：A 解析：5.答案：A 解析：6.答案：C 解析：7.答案：D 解析：8.答案：B 解析：9.答案：A 解析：10.答案：C 解析：11.答案：B解析：函数()2sin ,[0,π]x f x ae x x =-∈有且仅有一个零点等价于2sin xxa e =，[0,π]x ∈有且仅有一个解， 设2sin (),[0,π]xxg x x e=∈ 即直线y a =与2sin ()xxg x e=，[0,π]x ∈的图象只有一个交点，则π)4'()xx g x e +=， 当π04x ≤<时，'()0g x >，当ππ4x <≤时，'()0g x <， 即()g x 在π[0,)4为增函数，在π(,π]4为减函数，又(0)0,(π)0g g ==，π4π()4g -=，则可得实数aπ4-，故选B12.答案：B 解析：13.答案：-4 解析：14.答案：7 解析：15.答案：2π 解析： 16.解析：17.答案：1.令1n =，得11)0a +==，得11a =，n =，即2n S n =． 当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-， 当1n =时，11a =适合上式， 所以21n a n =- 2. 111212111(1)(1)(1)()1n n n n n n a n b S n n n n n ---++=-⋅=-⋅=-⋅++++ 当n 为偶数时，12n n T b b b =+++L1111111111()()()()()122334451n n =+-+++-++-++L 1111nn n =-=++， 当n 为奇数时，12n n T b b b =+++L1111111111()()()()()122334451n n =+-+++-++-++L 12111n n n +=+=++ 综上所述，()12()1n nn n T n n n ⎧⎪⎪+=⎨+⎪⎪+⎩为偶数为奇数解析：18.答案：1.因为,E F 分别为,AB AC 边的中点， 所以//EF BC ， 因为90ABC ∠=︒， 所以EF BE EF PE ⊥⊥，，又因为BE PE E ⋂=， 所以EF ⊥平面PBE ， 所以BC ⊥平面PBE ． 2.取BE 的中点O ，连接PO ，由1知BC ⊥平面PBE ，BC ⊂平面BCFE ， 所以平面PBE ⊥平面BCFE ， 因为PB BE PE ==， 所以PO BE ⊥，又因为PO 平面PBE ，平面PBE ⋂平面BCFE BE ＝， 所以PO ⊥平面BCFE ，过O 作//OM BC 交CF 于M ，分别以OB OM OP ，，所在直线为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，则(1,4,0)(1,2,0)P C F(1,4,(1,2,PC PF ==-u u u r u u u r， 设平面PCF 的法向量为()m x y z =，，，则00PC m PF m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r即4020x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩则(m -，易知0,()1,0n =为平面PBE 的一个法向量，cos ,m n =所以平面PBE 与平面PCF． 解析：19.答案：1.当12k =时，直线1:(4)2l y x =+即240x y -+=.此时，直线l 与抛物线C 相切，由22402x y y px-+=⎧⎨=⎩得2480y py p -+=，由0∆=即216320p p -=，得2p =，所以C 的方程为24.y x ＝ 2.直线:4(),()0l y k x k =+≠设1122(,),(,)A x y B x y ，由2(4)4y k x y x=+⎧⎨=⎩得：24160y y k -+=，则1212416y y k y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩① 又A 为PB 的中点，得：1212y y =，② 由①②得：229k =，所以AB ===解析：20.答案：1.分层抽样，简单随机抽样（抽签亦可）. 2.将列联表中的数据代入公式计算得222()200(405010010) 3.175 2.706()()()()1406050150n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯，所以，有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”． 3.以频率作为概率，从该小区随机选择1家企事业单位作为普查对象，入户登记 顺利的概率为45，随机选择1家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的概率为23． X 可取0,1,2,3,4．3111(0)()53135P X ==⨯=， 31234112110(1)()()53533135P X C ==⨯+⨯⨯⨯=， 12223342112136(2)()()533533135P X C C ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=， 22334211256(3)()()53353135P X C ==⨯⨯⨯+⨯=， 34232(4)()53135P X ==⨯=． X 的分布列为：()012341351351351351355E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 解析：21.答案：1.由()0f x ≥得ln 0xax x-≥， 从而ln x ax x ≥，即2ln xa x≥． 设2ln ()xg x x =，则212ln ()(0)x g x x x -=> 所以0x <<时,()0,()g x g x >单调递增； x >, ()0,()g x g x <单调递减，所以当x =()g x 取得最大值12g e=， 故a 的取值范围是12a e≥． 2.设()y f x =的图像与y a =相切于点(),t a ， 依题意可得'()()0f t af t =⎧⎨=⎩因为21ln ()xf x a x -=-， 所以2ln 1ln 0t at a t t a t ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩消去a 可得(1ln )210t t t ---=． 令()121)n (l h t t t t ---＝，则11()1(21)2ln 2ln 1h t t t t t t=--⋅-=--，显然()h t 在(0,)+∞上单调递减，且()10h =， 所以01t <<时，()()0,h t h t >单调递增； 1t >时，()()0,h t h t <单调递减，所以当且仅当1t =时()0h t =．故1a =．解析：22.答案：1.当π2α=时， :1l x =； 当π2α≠时, :tan (1)l y x α=-． 由1cos s (28c )o ρθθ=-得222sin 8cos ρθρθ=，因为cos sin x y ρθρθ==，，所以C 的直角坐标方程24y x =2.将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得：22sin 4cos 0(()4)t t αα-=-, 则1212224cos 4,sin sin t t t t ααα+==-，因为12218sin AB t t α=-==所以sin α=或，因为0πα<<，所以sin α， 故π4α=或3π4．解析：23.答案：1.∵,a b 是正实数，∴a b +≥1≤，∴24a b =++，2，当且仅当1a b ==时，取“=”2.∵222a b ab +≥，∴2222222(4())a b a b ab a b +=+++=≥，∴222a b +≥，∴334433442222224()()()a b a b a b a b ab a b a b a b +=++++=≥++≥＋， 当且仅当1a b ==时，取“=”． 解析：。