【关键字】考试东北三省四市长春、哈尔滨、沈阳、大连第一次联合考试数学(理科)本试卷分为第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页，试卷满分150分，做题时间为120分钟．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀．第I卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分。

共60分，在每小题的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的。

请将正确选项填涂在答题卡上)1．复数，则A．1 B．．D．52．已知集合，，则A．B．(1，3) C．(1，) D．(3，)3．已知、为两条直线，、为两个平面，下列四个命题①∥，∥∥；②∥；③∥，∥∥；④∥，其中不正确的有A．1个B．2个C．3个D．4个4．在中，、分别是角、所对的边，条件“<”是使“>”成立的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知数列满足，则A．1024 B．．2048 D．20476．过点P(2，3)向圆上作两条切线PA、PB，则弦AB所在直线方程为A．B．C．D．7．将函数的图象经过下列哪种变换可以得到函数的图象A．先向左平移个单位，然后再沿轴将横坐标压缩到原来的倍(纵坐标不变)B．先向左平移个单位，然后再沿轴将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)C．先向左平移个单位，然后再沿轴将横坐标压缩到原来的倍(纵坐标不变)D．先向左平移个单位，然后再沿轴将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)8．已知实数、满足，则的最大值为A．1 B．．8 D．99．四张卡片上分别标有数字“、“、“、“，其中“可当“用，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为A．6 B．．18 D．2410．函数在处连续,则=A ．0B ．．一1 D ．211．已知是上的可导函数，对于任意的正实数，都有函数 在其定义域内为减函数，则函数的图象可能为下图中12．定长为的线段的两端点都在双曲线的右支上，则中点的横坐标的最小值为A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分。

共20分．把正确答案填在答题卡中的横线上) 13．正四面体的外接球与内切球的半径之比为 . 14．已知=(3，2)，=(一1，2)，上，则实数 . 15．,则 .16．已知，且，则关于三个数：； 1221b a b a +；2121b b a a +的大小关系说法：①2211b a b a +最大；②1221b a b a +最小；③2121b b a a +最小；④1221b a b a +与2121b b a a +大小不能确定，其中正确的有(将你认为正确说法前面的序号填上)．三、解答题(本大题共6小题。

共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数x x x f 42cos sin )(+=． (1)求函数)(x f 的最小正周期；(2)求函数)(x f 的值域．18．(本小题满分12分)某次摇奖活动，摇奖机内有大小相同，颜色分别为红、黄、蓝、黑的4种玻璃球各4个，每次按下摇奖机开关，可随机摇出10个球，按同色球的数目由多到少顺序产生一个四位号码，例如：由3个红球，1个黄球，2个蓝球，4个黑球产生的号码为4321；若是2个红球，3个黄球，3个蓝球，2个黑球，则号码为3322，兑奖规则如下：一等奖号码为4420，可获奖金88元；二等奖号码为4411，可获奖金8元；三等奖号码为4330，可获奖金l 元；其余号码则需付费2元． (1)求摇奖一次中奖的概率；(2)求摇奖一次庄家获利金额的期望值．(最终结果均用最简分数表示)19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形， 2π=∠=∠ABC DAB ，且22===AD BC AB ，侧面 ⊥PAB 底面ABCD ，PAB ∆是等边三角形． (1)求证：PC BD ⊥；(2)求二面角D PC B --的大小．20．(本小题满分12分)已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴、y 轴上运动，且8=AB ，动点P 满足35AP PB =，设点P 的轨迹为曲线C ，定点)0,4(M ，直线PM 交曲线C 于另外一点Q ． (1)求曲线C 的方程； (2)求OPQ ∆面积的最大值．21．(本小题满分12分)设n T 为数列{}n a 的前n 项之积，满足)(1*∈-=N n a T n n ．(1)设nn T b 1=，证明数列{}n b 是等差数列，并求n b 和n a ； (2)设22221n n T T T S +++= 求证：41211-≤<-+n n n a S a ．22．(本小题满分12分)设)0()1ln()(>+=x xx x f (1)判断函数)(x f 的单调性；(2)是否存在实数a 、使得关于x 的不等式ax x <+)1ln(在(0，∞+)上恒成立，若存在， 求出a 的取值范围，若不存在，试说明理由； (3)求证：*∈<+N n e nn,)11( (其中e 为自然对数的底数).东北三省四市长春、哈尔滨、沈阳、大连第一次联合考试数学(理)参考答案及评分标准一、选择题(每小题5分，满分60分)1．C 2．D 3．D 4．C 5．B 6．B 7．A 8．D 9．B 10．B 11．A 12．C 简答与提示： 1．555243==++=ii z ，故选C .2．∵{}{}),3(,12),,1()1(log 2+∞=∈+==+∞=-==A x y y B x y x A x ∴),3(+∞=B A ，故选D ．3．因为四个命题均有线在面内的可能，所以均不正确，故选D ． 4．B A B A b a cos cos >⇔<⇔<，故选C ．5．利用叠加法及等比数列求和公式，可求得1023121010=-=a ，故选B .6．以PO 为直径的圆与圆122=+y x 的公共弦即为所求，直线方程为0132=-+y x ，故 选B ．7．)22sin(2cos π+==x x y ，将x y sin =的图象先向左平移2π个单位得到)2sin(π+=x y 的图象，再沿x 轴将横坐标压缩到原来的21倍(纵坐标不变)得到)22sin(π+=x y 的图象，故选A ．8．在点(0，一1)处目标函数取得最大值为9，故选D ．9．先在后三位中选两个位置填两个数字“0”有23C 种填法，再排另两张卡片有22A 种排法，再决定用数字“9”还是“6”有两种可能，所以共可排成1222223=A C 个四位数，故选B ． 10．依题意112)1)(1(22)1412(lim lim lim 1121=+=+--=---+++→→→x x x x x x x x x ，∴1=a ，故选B ．11．因为函数)()()(x f t x f x g -+=在其定义域内为减函数，所以0)()()(<'-+'='x f t x f x g 恒成立，即)(x f '为减函数(切线斜率减小)，故选A ．12．ca c a FB FA c a c a x c a x x x x B A B A M2222)(21)(21)(21++=+-+-=+=，∵l AB FB FA =≥+，∴2222)2(2)2(2ba a l a c a l a c a c al x M ++=+=+≥，当A 、F 、B 三点共线时取得最小值，故选C ．二、填空题(每题5分．共20分} 13．3 14．51- 15．28 16．①③ 简答与提示： 13．∵V 正四面体 Sr r R S 314)(31⨯=+=，∴r R 3=. 14．∵b b a ⊥+)(λ，∴051)(2=+=+⋅=⋅+λλλb b a b b a ，∴51-=λ．15．∵[][]83831)1(2)1()2()1(--++-=-++x x x x ，∴6262866)1(28)1()1()1(-=--=-x x C x a ，∴286=a ．16．∵0))(()()(212112212211>--=+-+b b a a b a b a b a b a ， ∴12212211b a b a b a b a +>+，∵0)())(()()(211221121211221>-=--=+-+b a a b b a b b a a b a b a ， ∴21211221b b a a b a b a +>+，故①③正确．三、解答题(满分70分)17．本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数图象及性质． 解：(1)∵)sin 1(cos sin cos sin )(22242x x x x x x f -+=+=874cos 8142sin 1cos sin 1222+=-=-=x x x x (4分) ∴242ππ==T ． (2)当Z k k x ∈=,24π，即2πk x =时，1)(max =x f ， ， (6分) 当Z k k x ∈+=,24ππ，即42ππ+=k x ，43)(min =x f ，∴函数)(x f 的值域为[43，1]． (10分)18．本小题主要考查概率的基本知识与分类思想，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力．解．(1)中一等奖的概率为100191016241224=C C C C ， (2分)中二等奖的概率为1001121016141424=C C C C ， (4分) 中三等奖的概率为100124101634341314=C C C C C ， (6分) ∴摇奖一次中奖的概率为100145100124129=++ (7分) (2) 由(1)可知，摇奖一次不中奖的概率为10019561001451=- (9分) 设摇奖一次庄家所获得的金额为随机变量ξ，则随机变量ξ的分布列为：ξ 88- 8-1- 2 P10019 100112 100124 1001956∴1001100010019562100124)1(100112)8(10019)88(=⨯+⨯-+⨯-+⨯-=ξE ∴摇奖一次庄家获利金额的期望值为10011000元 (12分)19．本小题主要考查空间线面位置关系、异面直线所成角、二面角等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力以及空间向量的应用． 解法一：(1)证明： 取AB 中点为O ，连结PO 、OC ， ∵△PAB 是等边三角形，∴AB PO ⊥又∵侧面PAB ⊥底面ABCD ， ∴⊥PO 底面ABCD ，∴OC 为PC 在底面ABCD 上的射影， 又∵22===AD BC AB ， 2π=∠=∠DAB ABC ，∴OBC DAB ∆≅∆， ∴DBA BCO ∠=∠， ∴OC BD ⊥， ∴PC BD ⊥．(2)取PC 中点E ，连结BE 、DE ， (6分)∵BC PB =． ∴PC BE ⊥．又∵PC BD ⊥，B BD BE = ，∴⊥PC 平面BDE ，∴⊥PC DE ，∴BED ∠是二面角D PC B --的平面角. (9分)∵22===AD BC AB ，2π=∠ABC ，∴5,221=====BD PD PC PE BE ． ∴3=DE ，∴222BD DE BE =+， ∴2π=∠BED ，∴二面角D PC B --的大小为2π(12分) 解法二：证明：(1) 取AB 中点为O ，CD 中点为M ，连结OM ， ∵△PAB 是等边三角形，∴AB PO ⊥，又∵侧面PAB ⊥底面ABCD ， ∴⊥PO 底面ABCD ，∴以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图， (2分)∵22===AD BC AB ，△PAB 是等边三角形， ∴3=OP ，∴)3,0,0(),0,1,1(),0,2,1(),0,0,1(),0,0,0(P D C B O -． ∴)3,2,1(),0,1,2(-=-=PC BD ． ∵022=+-=⋅PC BD ∴PC BD ⊥．(2)设平面PBC 的法向量为),,(1111z y x n = ∵)0,2,0(),3,0,1(=-=BC PB∴⎩⎨⎧==-0203111y z x令11=z ，则0,311==y x ，∴)1,0,3(1=n (8分)设平面PCD 的法向量为),,(2222z y x n =， ∵)3,1,1(),0,1,2(-==DP DC ，∴⎩⎨⎧=+-=+030222222z y x y x ，令2,122-==y x ，则32-=z ，∴)3,2,1(2--=n (10分)∴0222)3(1)2(013,cos 212121=⨯-⨯+-⨯+⨯=⋅=n n n n n n ，∴2,21π=n n ，∴二面角D PC B --的大小为2π. (12分) 20．本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查轨迹的求法以及综合解题能力解：(1)设),(),,0(),0,(y x P b B a A ，则),(),,(y b x y a x --=-=∵53=,∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-)(5353y b y x a x ，∴y b x a 38,58==， (3分)又822=+=b a AB ，∴192522=+y x ∴曲线C 的方程为192522=+y x (6分) (2)由(1)可知，M (4，0)为椭圆192522=+y x 的右焦点，设直线PM 方程为 4+=my x ，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+4192522my x y x 消去x 得，08172)259(22=-++my y m ，∴25919025981)259(4)72(22222++=+⨯+⨯+=-m m m m m y y Q P (9分) ∴9251202591902212222++=++⨯=-=∆m m m m y y OM S Q P OPQ2153820191612091611202222=≤+++=+++=m m m m ， 当1916122+=+m m ，即37+=m 时取得最大值， 此时直线方程为01273=-+y x . (12分)21．本小题主要考察等差数列定义、通项、数列求和、不等式等基础知识，考察综合分析问题的能力和推理论证能力．解：(1)∵)2(,),(11≥=∈-=-*n T T a N n a T n nn n n ， ∴)2(,11≥-=-n T T T n nn (2分) ∴)2(,1111≥-=-n T T n n ， ∵nn T b 1=∴)2(,11≥=--n b b n n . (4分) ∵,1n n a T -=∴11111T a T -=-=，∴211=T ， ∴2111==T b ， ∴数列{}n b 是以2为首项，以1为公差的等差数列， ∴1)1(2+=-+=n n b n ，∴111+==n b T n n ， ∴1111+-=-=n T a n n ． (7分) (2)22222221)1(13121++++=+++=n T T T S n n ， ∵2121)2)(1(1431321)1(13121222+-=++++⨯+⨯>++++n n n n211-=+n a ∴n n S a <-+211 (10分)当2≥n 时，)1(132121)1(131212222+++⨯+<++++n n n41112141-=+-+=n a n ， 当1=n 时，41411211-===a T S ，∴41-≤n n a S . (12分)22．本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式等基础知识，考查运用导数研究函数性质 的方法，考查分析问题和解决问题的能力． 解：(1)∵)0(,)1ln()(>+=x x x x f ∴2)1ln(1)(x x x xx f +-+='， (1分)设)0(),1ln(1)(≥+-+=x x xxx g .∴0)1()1()1(111)1(1)(222≤+-=++-=+-+-+='x xx x x x x x x g ，∴)(x g y =(1+z)在)[∞+,0上为减函数． (3分)∴0)0()1ln(1)(=≤+-+=g x x xx g ， ∴0)1ln(1)(2<+-+='x x x xx f ， ∴函数xx x f )1ln()(+=在),0(+∞上为减函数． (5分)(2)ax x <+)1ln(在),0(+∞上恒成立，0)1ln(<-+⇔ax x 在),0(+∞上恒成立， (6分) 设ax x x h -+=)1ln()(，则0)0(=h ，∴a xx h -+='11)(， (7分) 若1≥a ，则)[∞+∈,0x 时，011)(≤-+='a xx h 恒成立，∴ax x x h -+=)1ln()(在)[∞+,0上为减函数 ∴0)0()1ln(=<-+h ax x 在),0(+∞上恒成立，∴ax x <+)1ln(在),0(+∞上恒成立， (9分) 若0≤a 显然不满足条件， 若10<<a ，则011)(=-+='a x x h 时，11-=ax ， ∴)11,0-⎢⎣⎡∈ax 时0)(≥'x h ，∴ax x x h -+=)1ln()(在)11,0-⎢⎣⎡a上为增函数， 当)11,0-⎢⎣⎡∈a x 时，0)1ln()(>-+=ax x x h ， 不能使ax x <+)1ln(在),0(+∞上恒成立，∴1≥a (10分) (3)由(2)可知1)1ln(<+xx 在),0(+∞上恒成立, ∴1)1ln(1<+xx ， ∴e x x<+1)1(， 取n x =1，即可证得e nn <+)11(对一切正整数n 成立． (12分)此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。