从“有限元”的名字出现到今天，经历了几十年的发展，其基本理论已
经日趋完善，复杂非线性问题的各种算法得到很大的发展，并且在工程领域
图4.1 求解区域离散化
离散化后各相邻离散点之间的距离，或离散化单 元的长度称为步长，步长的大小可以是常量，也可以 是变量。网格的粗细与是否均匀，要根据求解区域物 理场的实际分布和对结果所要求的精确度而定。
一般说来，对均质、形状简单且规则、物理量变 化不剧烈的物体．或求解精度要求不高时，可采用等 步长、大步长，即采用均匀网格；而对形状复杂、组 分不同、物理量变化剧烈的物体，或求解精度要求较 高时，则采用小步长、变步长。
建立差分方程是有限差分法的关键环节。导出差分 方程的途径可有两种：
（1）从微分方程出发，以泰勒级数截断，从有限差分 的数学含义去建立有限差分和差分方程。 （2）从由网格所划分的单元体的能量平衡分析出发、 由积分方 程去建立差分方程，该方法又称单元体平衡法。
两种方法各具特色，但无论采取何种差分方程的推 导方法，在建立差分方程前，均需对所论区域进行离散 化。
分布的要求。
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图4.2 扇形网格和三角形网格 X.Z.Lin
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差分方程的建立过程（之二）
——将微分方程转化为差分方程
微分方程转化为差分方程实际上就是以差分代替微 分、以差商代替微商的过程，是以有限小量去代替无限 微量的近似化过程。
方法：写出微分方程中各微分与微商所对应 的差分与差商形式，代入原微分方程即可。
2
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(fi11fi11)(fi11fi11)fi12fifi1
22 22
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差商
——函数的差分与自变量差分之比
用差分代替微分方程中的微分，用差商代替微分方程中的 微商，即可将微分方程转化为差分方程。
差分方程通常是一个线性方程组，利用以前介绍的直接法
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4.1.2 有限差分法的主要步骤
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1、构成差分格式
x 2 x 1 x
首先选择网格布局、差分形式和步长；其次，以有限差分
代替无限微分，即以x2 替微商（导数）d y
，x以1 差x分方代程替代dx替．微以分差方商yx程22 及xy11边界yx条件代。
组 成
向后差分 一阶差分 fb,i fi fi1
二阶差分 2fb ,i ( fb ,i) fb ,i fb ,i 1
分
(fifi 1 ) (fi 1fi 2 )fi 2fi 1fi 2
中心差分
一 二阶阶差差分分 f2c f,ic,i f i (1 2 fc,if)i 1 2 fc,ifi1 1 2 ffci,i 1fi 2 fi 1fi 1 2fi 1
另外，对一些较复杂的问题，在选择网格与步长前，往往要对所论区 域的物理场作出粗略估计，然后以较粗的网格、较大的步长计算出参考性 物理场，根据这一参考性物理场再选择合理的离散化网格。
（2）几何划分法：以几何区域
形状为依据来划分，如对矩形区
域可采用矩形离散化网格，非矩
形区域可采用三角形、四角形或
其他形状的网格，以适应温度场
（消元法）或间接法（迭代法）即可解之，从而得到原微分方
程的解。
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4.2 有限单元法
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4.1.1 概述
有限单元法（又称为有限元素法，简称有限元法），是20世纪50年代初 才出现的 一种新的数值分析方法，最早应用于航空航天领域，主要用于力学 与结构分析中， 20 世纪 70 年以来被应用到传热学计算中。与有限差分法相 比较，有限元法的准确性和稳定性都比较好，且由于其单元的灵活性，使它 更适应于数值求解非线性热传导问题以及具有不规则几何形状与边界，特别 是要求同时得到热应力场的各种复杂导热问题；有限元法在传热学中的应用 正处于开拓与发展阶段，迄今为止，其应用已波及热传导、 对流传热及换热 器设计与计算。
§4 有限差分法与有限单元法
4.1 有限差分法 4.2 有限单元法
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4.1 有限差分法
4.1.1 概述
有限差分方法是数值计算中应用非常广泛的一种 方法，是求解微分方程的主要方法之一。其实质就是 以有限差分代替无限微分、以差分代数方程代替微分 方程、以数值计算代替数学推导的过程，从而将连续 函数离散化。以有限的、离散的数值代替连续的函数 分布。
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பைடு நூலகம் W
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按阶数分
差分
——某物理量的有限增量
一阶差分 f
二阶差分 2 f
……
n 阶差分 n f
分 类
向前差分 一阶差分 ff,i fi1fi
二阶差分 2ff,i ( ff,i) ff,i 1 ff,i
按
(fi 2fi 1 ) (fi 1fi)fi 2 2fi 1fi
dx
2、求解差分方程
差分方程通常是一组数量较多的线性代数方程（即：线性方 程组）。其求解方法有下列两种：（1）精确法，又称直接法， 即消元法；（2）近似法，又称间接法，即迭代法。
3、对所得到的数值解进行精度与收敛性分析和检验。
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4.1.3 差分方程的建立
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合理选择网格布局及步长（续）
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离散化网格的布局，要根据所要求解的问题的性质及求解 要求确定。一般说来，有两种方法：
（1）物理划分法：这种方法是根据问题的物理特性划分，如建筑 物墙壁内外层面砖、普通砖和内灰泥层组成；若拟求各层界面壁 温，则离散化时应按不同材料组分划分区域。
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差分方程的建立过程（之一）
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——合理选择网格布局及步长
在实施有限差分法中．首先在如图4.1所示的求解区域内，将自 变量x，y 分别沿x，y轴方向的连续变化，离散为x0，x1 ，x2，…， xn及y0，y1 ，y2，…，yn个不连续点．形成离散化网格；网格交点称 为结点(或节点)，依次将结点编号，与区域自变量离散化相对应， 区域内函数也将同时被离散化 。