k0 k c0
k0c k cc
e
0 R0 c Rc
e
e
其中 c是单元中需要凝聚掉的自由度， 参加总刚集成的自由度。

是单元中需要保留，也即将 0
第六章 杆系结构的有限单元法
四、平面杆件系统
5、内部铰结点的处理
l xz l zz 0
0 ui w 0 i i 1 i
l xx l zx 0 l xz l zz 0
(i 1,2)
所以单元坐标转换矩阵为：
T diag

0 cos sin 0 0 sin cos 0 1 0 0 1
i 1 i 1
2
2
e
N N1ຫໍສະໝຸດ N z1 N 2Nz2
形函数矩阵
N1 1 3 2 2 3
N 2 2 l
2 3


N z1 3 2 2 3
N z2 l
3 2


形函数
第六章 杆系结构的有限单元法
三、纯弯杆单元
3、单元分析
0 , (i, j 1,2) b kij
EA 1 1 [k ] l 1 1
12 6l 4l 2 EI 3 l 对 称 12 6l 12
k
eb
EA 0 l 12 EI l3 6l k e 2l 2 6l 2 4l
d 2w 2 dx
d 2w b）物理方程 M EI EI dx2 dM d 3w c）平衡方程 Q EI 3 , dx dx
d）总势能
dQ d 4w EI 4 q( x) dx dx
C1问题
EI 2
l d w dw 2 dx q( x)wdx Pj w j M k 0 dx 0 dx k j k l 2
w2 2
T
2）单元刚度方程－轴向＋弯曲

a kij e kij 0
0 , (i, j 1,2) b kij
e
k e kij 22
第六章 杆系结构的有限单元法
四、平面杆件系统
2、局部坐标系下的平面杆单元

ea
a kij e kij 0
u N i ( )ui N
i 1 n e
第六章 杆系结构的有限单元法
一、拉压杆单元
3、单元分析 d）单元平衡方程 将位移函数带入总势能方程，并对势能取驻值得：
[k ]e [ ]e {R}e 0
其中：
2 EA dN dN dN [k ] EA dx 1 d 0 dx dx l
3、平面杆单元的坐标变换
设局部坐标 x轴和总体坐标 x 轴间的夹角为 则x轴的方向余弦为：

lxx cos(x, x ) cos
z轴的方向余弦为：
lxz cos(x, z ) sin lzz cos(x, z ) cos (i 1,2)
lzx cos(z, x ) sin ui lxx ui lxz wi
杆系结构类型：
1、桁架结构－平面、空间
2、刚架结构－平面、空间
3、拱－特殊的平面刚架
第六章 杆系结构的有限单元法
一、拉压杆单元 二、扭转杆单元
三、纯弯杆单元
四、平面杆系结构 五、空间杆系结构
第六章 杆系结构的有限单元法
一、拉压杆单元
图示等截面直杆，其中f(x)是轴向的分布荷载，P1、P2、P3等是轴向的集中荷载
第六章 杆系结构的有限单元法
四、平面杆件系统
5、内部铰结点的处理
a) 凝聚自由度法 对于图中2号杆，凝聚后的单刚：
EA l * k 0 3EI l3 0 3EI l2 3EI l EA l 0 0 EA l 0 3EI l3 3EI 2 l 0 3EI l3 0 0 0 0 0 0
d）总势能
l EA du 0 dx dx 0 f ( x)udx Pju j 2 j l 2
C0问题
第六章 杆系结构的有限单元法
一、拉压杆单元
3、单元分析 a）建立自然坐标
2 x1 x2 x xc , xc l 2
b）试凑法建立形函数
a) 凝聚自由度法 从方程的第二式可得：
c kcc 1 Rc kc 0 0
代回第一式可得：
k * 0 R0 *
其中：
k * k0 k0c kcc 1 kc 0 R0 * R0 k0c kcc 1Rc
2
T
d 2N 2 d d
12 6l 4l 2 EI 3 l 对 称
12 6l 12
6l 2l 2 6l 4l 2
dN T k M k R 0 N qld N j Pj d l j k k
其中：
[ k ]e
1
0
EI d N 2 3 l d
2
T
d 2N 2 d d
第六章 杆系结构的有限单元法
三、纯弯杆单元
3、单元分析
c）单元平衡方程
[k ]e [ ]e {R}e 0
[k ]
e 1
0
EI d N 2 3 l d
e l T 1
e l T 1 T
T
dN d d
l {R} N f ( x)dx N f ( ) dx 0 1 2
第六章 杆系结构的有限单元法
一、拉压杆单元
3、单元分析 d）单元平衡方程 2结点杆单元的单刚：
EA 1 1 [k ] l 1 1
两种坐标系间，线位移的转换关系为：
wi lzx ui lzz w i
转动位移的转换关系为：
i i
(i 1,2)
第六章 杆系结构的有限单元法
四、平面杆件系统
3、平面杆单元的坐标变换
两种坐标系间，位移的转换关系为：
ui l xx i wi l zx 0 i
0 6 EI l2 4 EI l

EA l 0 0
0 12 EI l3 6 EI 2 l 0 12 EI l3
EA l
6 EI 2 l 2 EI l 0 6 EI 2 l 4 EI l 0
第六章 杆系结构的有限单元法
四、平面杆件系统
第六章 杆系结构的有限单元法
四、平面杆件系统
4、整体坐标系下的单元平衡方程
[k ] [] {R } 0
e e e
其中：
k
e
[T ]T k [T ]
e
R T R
e T
e
第六章 杆系结构的有限单元法
四、平面杆件系统
5、内部铰结点的处理
a) 凝聚自由度法 单元在参加系统集成前，在自身局部坐标 系内的平衡方程可表示为：
第六章 杆系结构的有限单元法
四、平面杆件系统
5、内部铰结点的处理
a) 凝聚自由度法 两端铰接杆，凝聚后的单刚：
GJ 2
l d x 0 dx dx 0 mt ( x) x dx l 2
d）总势能
C0问题
第六章 杆系结构的有限单元法
二、扭转杆单元－自由扭转
2、单元分析 参考拉压杆单元的分析过程，对扭转杆单元进行分 析，并写出2结点杆单元的刚度矩阵
第六章 杆系结构的有限单元法
e 1 T T
第六章 杆系结构的有限单元法
四、平面杆件系统
1、平面杆系结构的特点 1）杆件和荷载都处于同一面内
2）有较明确的传力路径 3）杆件之间可以是铰接也可以是刚接
第六章 杆系结构的有限单元法
四、平面杆件系统
2、局部坐标系下的平面杆单元 1）结点位移－轴向＋弯曲
e u1
w1 1 u2
2
第六章 杆系结构的有限单元法
三、纯弯杆单元
3、单元分析 a）结点位移
w1
e
1 w2 2
T
b）广义坐标法建立形函数
dw , i dx i
3
(i 1,2)
2个结点，4个自由度，故在自然坐标下设：
w a1 a2 a3 a4
2
c）单元平衡方程
将位移函数带入总势能方程
l EI d 2 w dw 2 dx q( x)wdx Pj w j M k 0 dx 0 2 dx k j k l 2
并对势能取驻值得：
[k ]e [ ]e {R}e 0
1、计算假定
a）应力在截面上均匀分布
b）原来垂直于轴线的截面变形后仍保持和轴线垂直
三维问题简化为一维问题，只有沿x轴方向的位移u
第六章 杆系结构的有限单元法
一、拉压杆单元
2、基本方程
du du b）物理方程 σ x Eε x E a）几何方程 ε x dx dx d 2u d c）平衡方程 A x f (x) 即： AE 2 f ( x) dx dx
e
3个以上结点的杆单元，内部自由度可以在单元层次凝聚掉，以 提高计算效率
第六章 杆系结构的有限单元法
二、扭转杆单元－自由扭转