• 实验辩识法 对系统施加某种测试信号 （如阶跃、脉冲、正弦等），记录基本 输出响应（时间响应、频率响应），估 算系统的传递函数。
机理分析法建立系统数学模型的步骤
•确定系统的输入量、输出量； •根据物理定律列写原始方程；
•消去中间变量，写出表示系统输入、 输出关系的线性常微分方程。
机理分析法建立系统数学模型举例
(3)
1
U c2 C2 i2dt
(4)
图2-1 RC组成的四端网络
U 2 U c2
(5)
机理分析法建立系统数学模型举例 R1
由(4)、(5)得
U1
C1
R2
C2
U2
由(2)导出
U
将i1、i2代入(1)、(3)，则得
U1 R1i1 R2i2 U c2
图2-1 RC组成的四端网络
dm (t)
dt

(Ra
fm

CmCe )m (t)
⑤

CmU a
(t)

La
dM c (t) dt

Ra M c
(t)
在工程应用中，由于电枢电路电感La较小， 通常忽略不计，故⑤可简化为
T其m d中dmt(t) m (t) K1Ua (t) K2Mc (t)
⑥
Tm

Ra
Ra Jm fm CmCe
• 在给定输入和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出 响应，包括两部分 系统响应=零输入响应+零状态响应 零输入响应——在输入为零时，系统对零初始状态的响应； 零状态响应——在零初始条件下，系统对输入的响应。
负 载 J mf m
列写微分方程。图中Ra(Ω)、 La(H)分别是电枢电路的电阻 和电感，Mc(N·M)是折合到电
-
图2 - 6
电枢控制直流电动机原理图
动机轴上的总负载转矩。激
磁磁通为常值。
机理分析法建立系统数学模型举例
解：列写电枢电路平衡方程
Ua (t)

La
dia (t) dt

Raia
(t)机理分析法建立系统源自学模型举例R1[C1
d dt
( R2i2
U2)
C2
dU2 dt
]
R2C2
dU2 dt
U2

R1C1R2C2
d 2U2 dt 2

R1C1
dU2 dt

R1C2
dU2 dt

R2C2
dU2 dt
U2
R1R2C1C2
d 2U2 dt 2

( R1C1

R1C2

R2C2
数学模型——物理模型的数学描述。是指描述系统 输入、输出以及内部各变量之间动态关系的数学 表达式。
数学建模——从实际系统中抽象出系统数学模型的 过程。
建立物理系统数学模型的方法
• 机理分析法 对系统各部分的运动机理进 行分析，按 照它们遵循的物理规律、化 学规律列出各物理量之间的数学表达式, 建立起系统的数学模型。
•
第二节线性系统的输入—输出传递函数描述
一、传递函数 １．定义：线性定常系统的传递函数，定义为零
初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量 的拉氏变换之比。零初使条件是指当t≤0时,系统 r(t)、c(t)以及它们的各阶导数均为零。 线性系统微分方程的一般形式为
d
nc(t) dt n

a1
d
n 1c(t ) dt n1
第二章 控制系统的数学模型
本章知识点： •线性系统的输入－输出传递函数描述 •建立机电系统数学模型的机理分析法 •传递函数的定义与物理意义 •典型环节的数学模型 •框图及化简方法 •信号流程图与梅逊公式应用 •非线性数学模型的小范围线性化
第一节 线性系统的输入/输出时间函数描述
物理模型——任何元件或系统实际上都是很复杂的， 难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化 或理想化。简化后的元件或系统称为该元件或系 统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的 性质和求解的精确要求来确定出合理的物理模型。
bm1s bm an1s an
传递函数G(S)是复变函数，是S的有理函数。且有
m≤n。
极点——传递函数分母s多项式
的根，也即线性微分方程特征方程的特征值。 零点——传递函数分子s多项式
N (s) b0sm b1sm1 bm1s bm
的根。
• 传函是由微分方程在初始条件为零时进行拉氏变换得到的。 • 如果已知系统的传递函数和输入信号,则可求得初始条件为零

......an1
dc(t) dt

anc(t)

b0
d nr(t) dt n

b1
d n1r(t) dt n1

......a1
dr(t) dt

a1r(t)
当初始条件均为0时,对上式两边求拉氏变换，得
系统的传递函数
C(S) R(S)

b0sm b1sm1 sn a1sn1
)
dU dt
2
U2
U1
这就是RC四端网络的数学模型，为二阶线性 常微分方程。
机理分析法建立系统数学模型举例
＋
例2-2 图2-6 所示为电枢控 制直流电动机的微分方程，
if
-
La Ra
要求取电枢电压Ua(t)（v）为 ＋
输入量，电动机转速
ia
m
ωm（t）（rad/s）为输出量， Ua
Ea S M
例2-1:图2-1为RC四端无源网络。试列写以U1(t)
为输入量，U2(t)为输出量的网络微分方程。
解：设回路电流i1、i2，根据克希霍夫定律，列
写方程组如下
R1
R2
U1 R1i1 U c1
(1)
U c1

1 C1
(i1 i2 )dt
(2)
U1
C1
C2
U2
U c1 R2i2 U c2

Ea
①
＋ if
-
La Ra
＋ ia
Ua
Ea SM
m
负 载
Jmf m
-
图2-6 电枢控制直流电动机原理图
Ea——电枢反电势，其表达式为 Ea=Ceωm（t） ② Ce——反电势系数（v/rad/s）
由③、④求出ia(t)，代入①，同时②亦代入①，得
La Jm
d
2m (t)
dt

(La
fm

Ra Jm )
时输出量的拉氏变换式C(s),对其求拉氏反变换可得到系统的 响应 c(t)，称为系统的零状态响应。 • 系统响应的特性由传递函数决定，而和系统的输入无关。传 递函数则由系统的结构与参数决定。 • 传递函数的分母多项式即为微分方程的特征多项式，为1+开 环传递函数。
• 同一系统对不同的输入，可求得不同的传递函数，但其特征 多项式唯一。
K1

Ra
Cm fm CmCe
电动机机电时间常数（s） Cem(t) Ua(t)
K2

Ra Rafm CmCe
如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而 忽略不计时 ⑥还可进一步简化为
Cem (t) Ua (t)
⑦
电动机的转速m (t)与电枢电压ua (t)成正比，
于是电动机可作为测速发电机使用。