上海大学自动化系
自动控制原理
第八章
描述函数的基本概念
(1) 描述函数的定义 设非线性系统如图所示 其中线性部分的传递函数为：
C ( s) G ( s) = Y (s)
N
N 是非线性环节，它的输出 y 与输入 x 之间为非线性 函数：y=f (x) 当非线性环节的输入信号为正弦信号 x(t)=Asinωt ， 则其输出y(t)一般不是正弦信号，但仍是一个周期信 号，其傅里叶级数展开式为：
自动控制原理
第八章
非线性系统的简化
(3) 线性部分的等效变换
r (t ) = 0
−
G1
−
G2
y
c(t )
− −
G2 G1
x
c(t )
N
x
G3
y
N
G3
1 G3
−
y
G2 1 + G1G2
c(t )
x −
N
y
G2G3 1 + G1G2
c(t )
N
x
G3
上海大学自动化系
自动控制原理
第八章
非线性系统稳定性分析的描述函数法
单值非线性的描述函数是实数,非单值非线性的描 述函数是复数
上海大学自动化系
自动控制原理
第八章
非线性系统的简化
非典型结构形式 N 典型结构形式
原则：在r(t)=0的条件下，根据非线性特性的串、 并联，简化非线性部分为一个等效非线性环节， 再保持等效非线性环节的输入输出关系不变，简 化线性部分。
上海大学自动化系
B1
= A 3 3 + A 2 16
B1 1 3 2 N ( A) = = + A A 2 16
描述函数的基本概念
1 2π 1 2π A A3 3 = sin ωt + sin ωt sin ωtd (ωt ) y( t )sin ωtd (ωt ) ∫ ∫ 4 π 0 π 0 2
A12 + B12
)
B1 + jA 1 = A
描述函数表征了非线性环节对于正弦响应中基波分量 的传递特性(变幅移相能力) 当非线性环节中不含储能元件(无惯性)时，描述函数 只与输入信号幅值A有关，与输入信号频率ω无关 比较：线性环节(系统)的频率特性与A无关，与ω有关
上海大学自动化系
自动控制原理
自动控制原理
第八章
典型非线性特性的描述函数
间隙(滞环)特性
A12 + B12 −1 A 1 N ( A) = ∠tg ( A ≥ a) A B1 4kA a 2 a [( ) − ] A1 = A A π 2a 2a a kA π a 2 −1 [ + sin (1 − ) + 2(1 − ) B1 = −( ) ] π 2 A A A A
x = A sin ωt
M
x = A sin ωt
M
∆
k
y1 + y = y1 + y2 + y2
k
y
∆
∆
上海大学自动化系
自动控制原理
第八章
非线性系统的简化
(2) 非线性特性的串联
x
N1(A)
x1
N2(A)
y
x
N(A)
y
N ( A) ≠ N1 ( A) ⋅ N 2 ( A)
先求等效非线性特性(与串联次序有关)； 再求等效非线性特性的描述函数。
饱和特性
N ( A) = 2k
π
[sin
−1
a a a 2 + 1− ( ) ] A A A
( A ≥ a)
死区特性
a a 2 2k π −1 a N ( A) = − [ − sin 1− ( ) ] π 2 A A A ( A ≥ a)
死区饱和特性
2k s s 2 a a 2 −1 s −1 a N ( A) = [sin − sin + 1− ( ) − 1− ( ) ] A A A A A A π ( A ≥ s)
第八章
描述函数的基本概念
当非线性特性y= f (x)为输入x的奇函数 (即f (x)关于原 点对称)，则y(t)为t的奇对称函数，即y(t)= –y(t + π/ω) 此时，A0=0 若非线性特性y= f (x)是单值奇函数，则y(t)为t的奇 函数，即y(t)= –y(–t)，则 A1 = 0, N ( A) = B1 (实函数) A 若非线性特性y= f (x)是非单值奇函性系统的简化
y e y
解 ： x = k ( e − e0 )
y=M
e > e0 x≥a a e = + e0 k
等效非线性特性:
M, e > ∆ y = 0, − ∆ ≤ e ≤ ∆ − M , e < − ∆
上海大学自动化系
令 a = k ( e − e0 ) a 即 ∆ = + e0 k
2 0
1
2π
0
y (t ) sin ωt d ωt
y= f (x)是单值奇函数 A1= 0
=
4
π
π 4 4M 2 y ( t ) sin t d t ω ω M sin t d t = = ω ω ∫ ∫
N(A ) =
B1 = A
4M πA
π
0
π
上海大学自动化系
自动控制原理
第八章
典型非线性特性的描述函数
具有复变增益 的比例环节 (1) 变增益线性系统的稳定性分析 K 频域法 奈氏判据
设G(s)的极点均位于s 的左半平面，即P=0 闭环特征方程： 1 + KG ( jω ) = 0
G ( jω ) = − 1 + j0 K
上海大学自动化系
自动控制原理
第八章
非线性系统稳定性分析的描述函数法
1 + KG ( jω ) = 0 闭环特征方程： G ( jω ) = − + j 0 K 由奈氏判据： 当奈氏曲线G(jω)不包围(–1/K, j0) 点时，系统闭环稳定； 1 1 − − 当G(jω)包围(–1/K, j0)点时，系统不 K K2 1 稳定； 当G(jω)穿过(–1/K, j0)点时，系统 临界稳定，产生等幅振荡。 若K在一定范围内可变，K1≤K≤K2， 则：点线段 当G(jω)包围该线段时，系统不稳定 当G(jω)不包围该线段时，系统稳定
= A 2.5, = N ( A) 1.67 y A=2
N ( A) = 1.25
可变增益(与A有关)的放大器 物理意义： B1 y (t ) ≈ y1 (t ) = B1 sin ωt = ⋅ A sin ωt
A N ( A) ⋅ x(t )
= A 1,= N ( A) 0.69
0
x
上海大学自动化系
(2) 饱和非线性特性的描述函数
kx, − a ≤ x ≤ a y ( x) = ka, x≥a −ka, x ≤ −a
x(t ) = A sin ωt
a ϕ1 = arcsin 由 A sin ϕ1 = a A kA sin ωt , 0 ≤ ωt ≤ ϕ1 y (t ) = π , < ≤ ϕ ω ka t 1 2
自动控制原理
第八章
非线性系统的简化
(1) 非线性特性的并联 若两个非线性特性输入相同，输出相加、减，则 等效非线性特性为两个非线性特性的叠加。
x = A sin ωt
N1(A) N2(A)
y1
+
±
y2
y = y1 ± y2
x = A sin ωt
N(A)
y
N ( A) = N1 ( A) ± N 2 ( A)
π
0
非线性环节的输出y(t)中含有基波(一次谐波)分量及 高次谐波分量
上海大学自动化系
自动控制原理
第八章
描述函数的基本概念
y (t ) = A0 + ∑ ( An cos nωt + Bn sin nωt )
如果系统的线性部分具有低通滤波特性，则高次谐波 分量通过线性部分后将衰减到很小，因此可以近似认 为当输入正弦信号 x(t) 时，只有 y(t) 的基波分量沿闭环 回路反馈至比较点，其高次谐波分量均忽略不计 若A0=0，则基波分量 (一次谐波分量) N
自动控制原理
第八章
描述函数的基本概念
(2) 非线性系统描述函数法分析的应用条件 (i) 非线性系统应简化成一个 非线性环节和一个线性部分 闭环连接的典型结构形式 N
(ii)非线性特性y= f (x)不包含储能元件，且为输入x的 奇函数，或正弦输入下的输出y(t)为t的奇对称函数， 即 y(t)= –y(t +π/ω)，以保证A0=0 (iii)系统的线性部分应具有较好的低通滤波性能（极点 均位于左半S平面；阶数越高，低通滤波性能越好）
上海大学自动化系
自动控制原理
第八章
描述函数的基本概念
y (t ) = A0 + ∑ ( An cos nωt + Bn sin nωt )
n＝1 ∞
直流分量
第n次谐波分量
其中：
1 A0 = 2π
∫
2π
0
y (t ) dωt
1 2π An = ∫ y (t ) cos nωt dωt π 0 1 2π Bn = ∫ y (t ) sin nωt dωt
自动控制原理
第八章
描述函数法
基本思想： 当系统满足一定的假设条件时，非线性环节在正弦 信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似，由此导 出非线性环节的近似等效频率特性，即描述函数。 非线性系统等效为一个线性系统，可用线性系统理 论中的频率法对系统进行频域分析 描述函数法是一种频域分析方法 主要用于分析在无外作用的情况下，非线性系统的 稳定性和自振问题 是一种近似方法，有一定的限制条件