信号子空间：设N 元阵接收p 个信源，则其信号模型为：()()()()1piiii x t s t a N t θ==+∑在无噪声条件下，()()()()()12,,,P x t span a a a θθθ∈称()()()()12,,,P spana a a θθθ为信号子空间，是N 维线性空间中的P 维子空间，记为P NS 。

PN S 的正交补空间称为噪声子空间，记为N P N N -。

正交投影设子空间mS R ∈，如果线性变换P 满足，则称线性变换P 为正交投影。

导向矢量、阵列流形设N 元阵接收p 个信源，则其信号模型为：()()()()1piiii x t s t a N t θ==+∑，其中矢量()i ia θ称为导向矢量，当改变空间角θ，使其在空间扫描，所形成的矩阵称为阵列流形，用符号A 表示，即(){|(0,2)}a A θθπ=∈波束形成波束形成（空域滤波）技术与时间滤波相类似，是对采样数据作加权求和,以增强特定方向信号的功率，即()()()()HHy t W X t s t W a θ==，通过加权系数W 实现对θ的选择。

最大似然已知一组服从某概率模型()f X θ的样本集12,,,N X X X ，其中θ为参数集合，使条件概率()12,,,N f X X X θ最大的参数θ估计称为最大似然估计。

不同几何形态的阵列的阵列流形矢量计算问题假设有P 个信源，N 元阵列，则先建立阵列的几何模型求第i 个信源的导向矢量()i i a θ选择阵元中的一个作为第一阵元，其导向矢量()1[1]i a θ=然后根据阵列的几何模型求得其他各阵元与第一阵元之间的波程差n ∆，则确定其导向矢量()2j n i a eπλθ∆=最后形成N 元阵的阵列流形矢量()11221N j j N Pe A e πλπλθ-∆∆⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 例如各向同性的NxM 元矩形阵，阵元间隔为半个波长，当信源与阵列共面时： 首先建立阵列几何模型：对于第m 行、第n 列的阵元，其与第1行、第1列阵元之间的波程差为故：()1122(sin()cos())22((1)sin()(1)cos())11N j j d j j d N M NM P NM Pe e A e e ππθθλλππθθλλθ-∆-∆---⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦而当信源与阵列不共面时： 首先将信源投影到阵列平面 然后建立阵列模型对于第m 行、第n 列的阵元，其与第1行、第1列阵元之间的波程差为故：()1122(sin()cos())cos()22((1)sin()(1)cos())cos()11N j j d j j d N M NM P NM Pe e A e e ππθθϕλλππθθϕλλθ-∆-∆---⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦线性约束最小方差准则（LCMV ）的自适应波束形成算法： 对于信号模型：()()()0X t s t a J N θ=++，波束形成输出：()()()()0()HHHy t W X t s t W a W J N θ==++LCMV 准则实际上是使()0HWa θ为一个固定值的条件下，求取使得()HW J N +方差最小的W作为最有权值，即：()0min .H X WHW R W s t W a Fθ⎧⎪⎨⎪=⎩，其中F 为常数利用拉格朗日乘子法可解得：()10X opt W R a μθ-=当取1F =时，则()()11H X a R a μθθ-=，μ的取值不影响SNR 和方向图。

在精确的方向矢量约束条件和相关矩阵精确已知的情况下，LCMV 准则与SNR 准则等效。

对于最有波束形成()1'0|n optLCMV W R a μθ-=，其中n R 应不含信号分量。

SMI （采样协方差矩阵求逆）算法是在此准则上，用一批次采样数据(),1,2,,i Xt i M =来估计得到n R ，()()()11MHn i i i R M X t Xt M∧==∑此估计为最大似然无偏估计，即：(),n n R M R M ∧→→∞SMI 算法输出SNR 损失会随着M 的增加而减小，当M →∞，输出无损失；为了使性能损失不超过3dB ，一般取2MN >。

当精确的方向矢量约束条件和精确的相关矩阵已知的条件不满足时，直接使用()n R M ∧估计n R 求逆会产生信号相消的现象。

SMI 算法的收敛性受n R 特征值分散程度的影响，在超过一定临界值之后，若期望信号不含在R 中，则收敛较快，反之则会变慢；可利用对角加载改善收敛速度。

天线旁瓣相消问题（ASC ）自适应天线旁瓣相消器采用下面的结构，基于最小均方误差准则的最适应波束形成（MSE ） 辅助天线增益小，与主天线旁瓣电平相当，无方向性，因此()y t 几乎仅为干扰信号，加在辅助天线的权矢量为1X Xd optW R r -=；主天线与辅助天线对干扰信号接收输出信号相关性较好时，可获得好的干扰抑制性能。

广义天线旁瓣相消问题属于一种部分自适应设计，其结构框图如下： 对于一般的最优波束形成有（LCMV 准则）其权系数分为两部分：一部分为固定权0W （匹配滤波系数）；另一部分为自适应权A W ，依赖输入数据，计算最优权值时，只需要计算A W 。

令：则：()0HH HA n n W C C W WC C ===，故有0Hn C C =而：0A W W W =-，故00()H H HHH A A W C W W C W C W C F =-=-=故：00A n W W W W C W =-=-能满足约束方程，可将方程约束条件去掉 得：00min ()()HHn n WW RW W C W R W C W =--，()()10H H nnnW C RC CRW -=信号被分成两个支路：上支路形成目标检测通道(0W 是匹配滤波权系数)；下支路形成辅助通道，用其加权求和去预测检测通道中的干扰信号进而对消掉。

对于输入信号()xt 有：()()()()()()0000n H H nnx t s t a x t C a C C C a θθθ=+===因为0HnC C =，故有：()0()(()()())()()()HHHHH n n n n n n nn y t Cx t Cs t a x t C Cs t Cx t Cx t θ==+=+=所以下支路中()y t 不含目标信号，仅有干扰，n C 被称为信号阻塞矩阵（Block Matrix ），由n C 保证下支路中不含目标信号。

当精确的方向矢量约束条件或精确的相关矩阵未知时，会产生信号相消的现象。

而进行降维处理之后：()()()()()10HHAn n n W C T R C T C T RW -=令n C T T −−−→记为，则()()10HHA W T RT TRW -=其中T 称为降维处理矩阵，因为0HT C =，故T 可阻塞信号；且T 的维数p N L <-进行降维处理之后的结构框图为： T 有三种设计方法：1、（Gabriel 法）：由指向干扰方向的波束作为权矢量构成的。

2、（Adams 法）：由指向目标方向邻近波束权矢量构成。

3、由R 的特征分解的特征矢量构成。

MUSIC 算法MUSIC 算法进行DOA 估计的步骤为：1、由阵列数据()i x t 估计相关矩阵，()()^11MHi i i R x t xt M==∑2、对^R 作特征分解，用其P 个大特征值对应的特征向量12,,,p v v v 张成信号子空间PN S （或用其N P -个小特征值对应的特征矢量1,,p N v v +噪声子空间N PN N -）3、 用搜索矢量()a θ向PNS 作投影，得到()()1N P H i i n i P a v v a θθ-=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑或用搜索矢量()aθ向N PNN-作投影()()1N H i i n i N P P a v v a θθ=-+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑ 4、 计算谱峰：()()()21PHin i S P a a vθθθ===∑，谱峰对应的角度就是波束到达角度。

（或用()()()2111NHn ii P S P a av θθθ=+==∑计算谱峰）MUSIC 算法并不能适用于任何几何形态的阵列，不同阵列的()aθ是不一样的，而MUSIC 算法要求()a θ为满秩的范德蒙德矩阵，这个条件有可能不满足。

MUSIC 算法并不能适用于相干源，因为对于相干信源，其相关矩阵^R 有可能不满秩，这样既不能准确知道信源的个数P ，又不能得到准确的信号子空间PN S 和噪声子空间N PN N -。

但可以通过空间平滑法去相关，然后再用MUSIC 算法。

空间平滑法就是将N 元等距线阵分成L 个M 元子阵， 这样对于每一个M 元子阵有()()()()1i iM i X t A D S t N t θ-=+其中：122sin 2sin 2sin 0P d j d j d j eeD e πθλπθλπθλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 于是：()()()()122sin 12sin 22sin P dj d j md j P S te S t e D S t S t e πθλπθλπθλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦若信源中存在相干源，则采用这种方法后可破坏其相关性。

通过多个子阵，每个子阵相当于空间平移，因为不同信号由于方向不同，旋转因子不同，将多出的旋转因子归并到信号包络()i S t ，所以然后()iS t 便变得不相干了；然后将各子阵数据在相关域平均。

对于非等间隔线阵，若信源中不含相干源，则MUSIC 算法仍然适用；若含有相干源，则则MUSIC 算法不适用，且不能通过空间平滑法去相关。

MUSIC 算法并不能适用于P 个波长不同的平面波波达方向估计，此时()a θ虽为的范德蒙德矩阵，但不满秩，空间角θ模糊。

MUSIC 算法并不能适用于色噪声环境，可以利用高阶累量抑制未知相关矩阵的高斯色噪声，然后运用MUSIC 算法。

例如，4阶累量MUSIC 算法流程如下： 1、 构建4阶累量矩阵：2、在P 个独立源情况下：4HC A A =Γ，其中()12,,,P diagr r r Γ=，i r 为第i 个信号源的4阶累量：()()()()**iii i i r Cum S t S t S t S t ⎡⎤=⎣⎦ 3、对4C 进行特征值分解，用其N P -个小特征值对应的特征矢量1,,p N v v +噪声子空间N PN N -4、由()()()2111NHn ii P S P a av θθθ=+==∑搜索P 个信源的谱峰方向。