0 ]
对波动方程的各种形式，应着重从物理意义
上去理解和把握.
从实质上看：波动是振动的传播. 从形式上看：波动是波形的传播.
5-2 平面简谐波的波动方程
三、质点的振动速度和加速度
➢振动速度
v
y t
Asin[(t
x u
)
0
]
➢振动加速度
a
2 y t 2
2 Acos[(t
x) u
0 ]
➢行波的微分方程
AP a b
uu
➢B点振动方程 ：
yB
yA (t
)=Acos[(t
)+0 ]
Acos[(t
ab u
)+0 ]
5-2 平面简谐波的波动方程
（2）求B点的振动方程
方法二：
y
u
以 B 点 坐 标 x=-b 代 入 波 动 方 程 ，即得B点 振动方程：
x
a
A
b
oB
yB
Acos[(t
ab u
)+0 ]
A o Bx
AP a x
uu
➢P点振动方程 ：
yP
yA (t
)=Acos[(t
)+0 ]
Acos[(t
a
u
x
)+0 ]
波动方程为 ：
y
Acos[
(t
a
u
x)+0]5-2 平面简谐波的波动方程
（2）求B点的振动方程
方法一： ➢B点位于A点 的下游
y
u
xab
A oB
➢B点振动滞后于A点的时间 ：
y
Acos t
2πx
0
y f (x)
令 0 t 0 C（定值）
则
y
A cos
2πx
0
5-2 平面简谐波的波动方程
该方程表示t 时刻波传播方向上各质点的 位移, 即t 时刻的波形方程（y-x的关系）
y
问题？
o
x
由波动方程如何确定任意时刻的波 形方程？
5-2 平面简谐波的波动方程
3、x和t都变化
20
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
5-2 平面简谐波的波动方程
(2) 以 B 为坐标原点，写出波动方程
yA 3cos 4 π t
P 点位于A点下游
P 点在时间上滞后于A
AP x 5
uu
u
8m 5m 9m
C oB A P D x
5-2 平面简谐波的波动方程
P 点振动方程为：
yP
3cos 4 π(t
)
3cos 4 π(t
x 5) 20
波动方程为：
y 3cos[4 π(t x ) π] 20
u
8m 5m 9m
C oB A P D x
5-2 平面简谐波的波动方程
(3) 写出传播方向上点C、D的运动方程
点C 的相位比点A 超前
yC
3cos(4 π t
2π
AC ]
3cos(4 π t 13 π)
4、已知某两时刻的波形图和T的范围
t 0
t 0.5s
y/m
u 10m / s
10
5 10
O
x/m
10
波动方程？ T 2(s)
5-2 平面简谐波的波动方程
例：一平面简谐波以速度 u 20 m/s 沿x正向传播， 波线上点 A 的振动方程 yA 3cos(4 π t)
求:(1)以 A 为坐标原点，写出波动方程； (2)以 B 为坐标原点，写出波动方程；
A
yu
xP
OP
x
动落后 x 。
u
tO
A
xO
P点在t时刻的位移是O点在 t
时刻的位移，即：
yP (t) yO (t )
5-2 平面简谐波的波动方程
yP yO (t ) Acos ωt 0
A cos
t
x u
0
由于P为波传播方向上任一点，因此上述方程能描 述波传播方向上任一点的振动，具有一般意义，即为
5-2 平面简谐波的波动方程
一、平面简谐波的波动方程
5-2 平面简谐波的波动方程
设有一平面简谐
波沿 x 轴正方向传
y A
u
P
x
播，波速为u ，坐标
O
x
原点 O 处质点的振动
A
方程为
yO Acos t 0
yO表示质点 O 在t时刻离开平衡位置的距离。
5-2 平面简谐波的波动方程
考察波线上P点 (坐标x),P点比O点的振
5
u yA (3102 m) cos(41π0sm1)t 8m 5m 9m
C
B oA
Dx
5-2 平面简谐波的波动方程
点 D 的相位落后于点 A
yD
3cos(4 t 2
AD ) λ
3cos(4 π 9 π)
5
u yA (3102 m) cos(41π0sm1)t
λ 10 m 8 m 5 m 9 m
5-2 平面简谐波的波动方程
2、已知某时刻的波形图和u 波动方程？
y/m
u 10m / s
10
5
O
10
x/m
10
5-2 平面简谐波的波动方程
3、已知某时刻的波形方程和u 波动方程？
例：已知u=1m/s（沿x轴正向传播）且t=0时刻波 形方程为：
y 2 cos( x )
3
5-2 平面简谐波的波动方程
(3)求传播方向上点C、D 的振动方程；
(4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差。
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
5-2 平面简谐波的波动方程
(1) 以 A 为坐标原点，写出波动方程
A3m
T 0.5 s 0 0
λ uT 10 m
y
Acos[2π( t T
x
)
0
]
x
y 3cos 4π(t )
u
（3）P点振动方程 ： yP yA (t )
5-2 平面简谐波的波动方程
例：已知A点振动方程为 ：
y Acos(t 0 )
试求（1）波动方程； （2）B点的振动方程。
y
u
xab
A oB
5-2 平面简谐波的波动方程
解：（1）在坐标轴上选取P点
y
u
➢P点位于A点 的下游
x a bP
➢P点振动滞后于A点的时间 ：
沿 x轴正方向传播的平面简谐波的波动方程。
5-2 平面简谐波的波动方程
利用 2π 2πν 和 uT
T
可得波动方程的几种不同形式：
y
A cos
t
x u
0
A
cos
2π
t T
x
0
A cos t
2πx
0
5-2 平面简谐波的波动方程
二、波动方程的物理含义
1、x 一定，t变化
y
2 y x2
1 u2
2 y t 2
5-2 平面简谐波的波动方程
四、波动方程的确定
1、已知波线上某点的振动方程 ➢问题转化为：
波动方程？
从已知点（A点）振动方程
波线上任意点（P点）振动方程
5-2 平面简谐波的波动方程
➢思路：
在波线任取一点P（坐标为x);
（1）P点位于A点
上游？ 下游？
（2）P点滞后（超前）A点的时间 ： AP
A
cos
t
2πx
0
令
0
2π
x
0
y f (t)
5-2 平面简谐波的波动方程
则 y Acost 0
y
表示x点处质点的振动方 O
t
程（y-t 的关系）。
问题？
由波动方程如何确定波线上任 意一点的振动方程？
5-2 平面简谐波的波动方程 波线上各点的简谐振动图
5-2 平面简谐波的波动方程
2、t一定，x变化
C
B oA
Dx
5-2 平面简谐波的波动方程
(4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差
yA 3cos 4 π t
B
C
2π
xB
xC
2π
8 10
1.6π
C
D
2π
xC
xD
2π
22 10
4.4π
u
λ 10 m 8 m 5 m 9 m
C
B oA
10m
Dx
波动方程表示不同质点在不同时刻的位移。
一方面了波线上任意点的振动情况，另一 方面给出任意时刻的波形。
y
u
O
x
5-2 平面简谐波的波动方程
➢沿x轴负方向传播的波动方程
y
u
A
P
x
O
x
A
y
A cos[ (t
x) u
0 ]
5-2 平面简谐波的波动方程
➢平面简谐波的波动方程一般形式
y
A cos[ (t
mx) u