5-2 平面简谐波的波动方程
利用 2π 2πν 和 uT
T 可得波动方程的几种不同形式：
yAcostux0 Acos2πT t x0
Acost 2πx0
5-2 平面简谐波的波动方程
二、波动方程的物理含义
1、x 一定，t变化
yAcost2πx0
令
0
2π
x 0
y f (t)
5-2 平面简谐波的波动方程
Dx
5-2 平面简谐波的波动方程
(1) 以 A 为坐标原点，写出波动方程
A3m
T0.5s 0 0
λuT10m
yAcos[2π(T t x)0]
y3cos4π(t x ) 20
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
5-2 平面简谐波的波动方程
(2) 以 B 为坐标原点，写出波动方程
yA 3cos4πt
Dx
5-2 平面简谐波的波动方程
点 D 的相位落后于点 A
yD3cos(4t2AλD)
3cos(4π9 π) 5
u y A ( 3 1 2 m 0 )c 4 o 1 π s m 0 s 1 ) t(
λ10m 8 m 5 m 9 m
C
B oA
Dx
5-2 平面简谐波的波动方程
(4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差
C oB A P D x
5-2 平面简谐波的波动方程
(3) 写出传播方向上点C、D的运动方程
点C 的相位比点A 超前
yC3cos(4πt2πAC]
3cos(4πt 13π) 5
u y A ( 3 1 2 m 0 )c 4 o 1 π s m 0 s 1 ) t( 8m 5m 9m
C
B oA
A
yu
xP
OP
x
动落后 x 。
u
tO
A
xO
P点在t时刻的位移是O点在 t
时刻的位移，即：
yP(t)yO(t)
5-2 平面简谐波的波动方程
y P y O ( t ) A c o s ω t 0
Acost ux0
由于P为波传播方向上任一点，因此上述方程能描 述波传播方向上任一点的振动，具有一般意义，即为 沿 x轴正方向传播的平面简谐波的波动方程。
则 yAcost0 y
表示x点处质点的振动方 O
t
程（y-t 的关系）。
问题？
由波动方程如何确定波线上任 意一点的振动方程？
5-2 平面简谐波的波动方程 波线上各点的简谐振动图
5-2 平面简谐波的波动方程
2、t一定，x变化
yAcost2πx0
y f (x)
令 0 t0C（定值）
则 yAcos2πx0
yu
O
x
5-2 平面简谐波的波动方程
➢沿x轴负方向传播的波动方程
y
u
A
P
x
O
x
A
yAcos[(tux)0]
5-2 平面简谐波的波动方程
➢平面简谐波的波动方程一般形式
yAcos[(tmux)0]
对波动方程的各种形式，应着重从物理意义 上去理解和把握.
从实质上看：波动是振动的传播. 从形式上看：波动是波形的传播.
5-2 平面简谐波的波动方程
该方程表示t 时刻波传播方向上各质点的 位移, 即t 时刻的波形方程（y-x的关系）
y
问题？
o
x
由波动方程如何确定任意时刻的波 形方程？
5-2 平面简谐波的波动方程
3、x和t都变化
波动方程表示不同质点在不同时刻的位移。 一方面了波线上任意点的振动情况，另一 方面给出任意时刻的波形。
波动方程为 ： yAcos[(tau x)+0]
5-2 平面简谐波的波动方程
（2）求B点的振动方程
方法一： ➢B点位于A点 的下游
y
u
xa
b
A
oB
➢B点振动滞后于A点的时间 ：
AP a b
uu
➢B点振动方程 ：
a b
y B y A ( t ) = A c o s [( t ) + 0 ] A c o s [( t u ) + 0 ]
yA 3cos4πt
B C 2 π x B x C 2 π 1 8 0 1 .6 π
C D 2 πx C x D 2 π 1 2 0 2 4 .4 π
u
λ10m 8 m 5 m 9 m
C
B oA
1m 0
Dx
例：一平面简谐波以速度 u20m/s 沿x正向传播， 波线上点 A 的振动方程 yA3cos(4πt)
求:(1)以 A 为坐标原点，写出波动方程； (2)以 B 为坐标原点，写出波动方程；
(3)求传播方向上点C、D 的振动方程；
(4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差。
u
8m 5m 9m
C
B oA
3、已知某时刻的波形方程和u 波动方程？
例：已知u=1m/s（沿x轴正向传播）且t=0时刻波 形方程为：
y 2cos(x)
3
5-2 平面简谐波的波动方程
4、已知某两时刻的波形图和T的范围
t0
t 0.5s
y/m
u10m/s
10
波动方程？ T 2(s)
5-2 平面简谐波的波动方程
波动方程？
从已知点（A点）振动方程
波线上任意点（P点）振动方程
5-2 平面简谐波的波动方程
➢思路：
在波线任取一点P（坐标为x);
（1）P点位于A点
上游？ 下游？
（2）P点滞后（超前）A点的时间 ： A P u
（3）P点振动方程 ： yP yA(t)
5-2 平面简谐波的波动方程
例：已知A点振动方程为 ：
yAcos(t0)
试求（1）波动方程； （2）B点的振动方程。
y
u
xa
b
A
oB
5-2 平面简谐波的波动方程
解：（1）在坐标轴上选取P点
y
u
➢P点位于A点 的下游
xa
b
P
➢P点振动滞后于A点的时间 ：
A
o Bx
AP a x
uu
➢P点振动方程 ：
y P y A ( t ) = A c o s [( t ) + 0 ] A c o s [( t a u x ) + 0 ]
5-2 平面简谐波的波动方程
一、平面简谐波的波动方程
5-2 平面简谐波的波动方程
设有一平面简谐
波沿 x轴正方向传
y A
u
P
x
播，波速为u，坐标
O
x
原点 O处质点的振动
A
方程为
yOA cost0
yO表示质点 O 在t时刻离开平衡位置的距离。
5-2 平面简谐波的波动方程
考察波线上P点 (坐标x),P点比O点的振
5-2 平面简谐波的波动方程
（2）求B点的振动方程
方法二：
y
u
以B点坐标x=-b代入波动方程 x a
，即得B点 振动方程：
A
b
oB
yBAcos[(tau b)+0]
5-2 平面简谐波的波动方程
2、已知某时刻的波形图和u 波动方程？
y/m
u10m/s
10
5
O
10
x/m
10
5-2 平面简谐波的波动方程
5-2 平面简谐波的波动方程
三、质点的振动速度和加速度
➢振动速度
v y t A sin[(tu x)0]
➢振动加速度 a 2 t2 y2Acos[(tu x)0]
➢行波的微分方程
2 y x 2
1 u2
2 y t 2
5-2 平面简谐波的波动方程
四、波动方程的确定
1、已知波线上某点的振动方程 ➢问题转化为：
P 点位于A点下游 P 点在时间上滞后于A AP x5
uu
u
8m 5m 9m
C oB A P D x
5-2 平面简谐波的波动方程
P 点振动方程为：
y P 3 c o s4 π (t) 3 c o s4 π (tx 2 0 5 )
波动方程为：
y3cos[4π(tx)π] 20
u
8m 5m 9m