A 13 A 23 A 33 A 43
1 B 0 x 1 A24 x2 B2 u 3 0 0 x 4 A44 x 0
1 x x 2 0 C 0 y C 3 1 x 3 4 x
或
(2)
式中
为简明起见，下面列举三个具有上述类型的二阶系统，对其能 控性加以剖析。 (3)
(4)
(5)
1)对于式(3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为： (6) (7) 2)对于式(4)的系统，系统矩阵A为约旦型，微分方程组为： (8) (9) 3)对于式(5)的系统，系统矩阵虽也为约旦型，但控制矩阵第二行的元素 却为0，其微分子方程组为： (10) (11)
其中
(5)
可以看出，系统状态空间表达式变换为式(3)后，系统的状态空间就 被分解成能控的和不能控的两部分，其中 维子空问：
是能控的，而
维子系统：
是不能控的。对于这种状态结构的分解情况如图所示，因为 对 不起作用， 仅作无控的自由运动。显然，若不考虑 系统，便可得到一个低维的能控系统。 维子
至于非奇异变换阵：
观测的，或简称是能观的。
2、定常系统能观性判别
定常系统能观性的判别也有两种方法：
（1）是对系统进行坐标变换，将系统的状态空间表达式变换成
约旦标准型，然后根据标准型下的 C 阵，判别其能观性； （2）直接根据 A 阵和 C 阵进行判别。
1)转换成约旦标准型的判别方法 判别准则1（a）:A具有互异特征值，系统状态完全能观充要条件
2、能控标准型实现和能观标准型的实现
3.7节已经介绍，对于一个单输入单输出系统，一旦给出系统的传 递函数，便可以直接写出其能控标准型实现和能观标准型实现。本 节介绍如何将这些标准型实现推广到多输入多输出系统。为此，必 须把 维的传递函
数阵写成和单输入单输出系统的传递函数相类似的形式，即
(2) 式中， 为 维常数阵；分母多项
2）能观性判别
(5)
能够性判别阵N满秩（为n）时，系统能观
1、线性系统的对偶关系
有两个系统，一个系统 为：
另一个系统
为：
若满足下述条件，则称
与
是互为对偶的。
3.5：能控性与能观性的对偶关系
① 互为对偶的系统输入端 与输出端互换；
② 信号引出点与综合点互换；
③ 传递矩阵相反； ④ 对应的矩阵转置； ⑤ 传递函数互为转置。
2、对偶原理
系统 则 的能控性等价于 或者说，若
和 的能观性，
是互为对偶的两个系统， 的能观性等价于 的能控性。 是状态完全能观
是状态完全能控的(完全能观的)，则
的(完全能控的)。
3.6：状态空间表达式的能控标准型与能观标准型
1、单输入系统的能控标准型
1）能控标准 型
若线性定常单输入系统：
(1) 是能控的，则存在线性非奇异变换：
3.1 能控性的定义 3.2 线性定常系统的能控性判别 3.3 线性连续定常系统的能观性 3.4 离散时间系统的能控性与能观性 3.5 能控性与能观性的对偶关系 3.6 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型
3.7 线性系统的结构分解
3.8 传递函数阵的实现问题 3.9 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性之间的关系
式为该传递函数阵的特征多项式。 显然W(s)是一个严格真有理分式的矩阵，且当 时，
W(s)对应的就是单输入单输出系统的传递函数。
对于式形式的传递函数阵的能控标准型实现为：
(4)
(5)
与此类推，其能观标准型实现为：
(7) (8) 式中， 和 为 阶零矩阵和单位矩阵； 为输入矢量的维数。
例3—18
2)变换矩阵R确定之后．只需经讨一次变换便可对系统同时按能控性 和能观性进行结构分解．但是R阵的构造需要涉及较多的线性空间概
念。
3、按能控性能观性分解
3)结构分解的另一种方法：先把待分解的系统化约旦标准型，然
后按能空判别法则和能管判别个状态变量的能控型和能观性，最后 按能控能观、能控不能观、不能控能观、不能控不能观四种类型分 类排列，即可组成相应的子系统。
2)也可以假定 将
=0，而工
为任意终端状态，换句话说， ，在有限时间 内，能 。在这种情况下，称为状态
若存在一个无约束控制作用 由零状态驱动到任意 的能达性。
3)在讨论能控性问题时，控制作用从理论上说是无约束的，其 取值并非唯一的，因为我们关心的只是它能否将 到 ，而不计较 的轨迹如何。 驱动
2、离散时间系统能控性
2、直接从A与B判别系统的能控性
1）单输入系统
线性连续定常单输入系统：
其能控的充分必要条件是由 A、b 构成的能控性矩阵： (14) 满秩，即 。否则，当 时，系统为不能控的。
2）多输入系统
对多输入系统，其状态方程为： 式中,B 为 阶矩阵； 为 r 维列矢量。 (15)
其能控的充分必要条件是矩阵： 的秩为 。
s2 s 1 W (s) s s 1
s 1 s3 s 1 s2
试求其能控标准型实 现和能观标准型实现
能控标准型实现
能观标准型实现
3、最小实现
（1）最小实现的定义 传递函数W(s)的一个实现：
① 离散时间系统的能控性判别、能观性判别
② 线性系统的能控性和能观性的对偶关系、对偶
原理、
③ 2种能控标准型、2种能观标准型、系统按能控 和能观性进行结构
3.8：传递函数阵的实现问题
1、实现问题的基本概念
对于给定传递函数阵 W(s)，若有一状态空间表达式∑：
(1) 使之成立 则称该状态空间表达式∑为传递函数阵W(s)的一个实现。 简言之：从传递函数阵转化为状态空间表达式的过程成为实现 注意：只有传递函数阵满足物理可实现性条件时才能找到实现！
C 1 1 CA 1 1
可分解为能控能观和能控不能观两部分子系统
x 2 A x 21 1 A22 x2 A23 x3 A24 x4 B2u y2 0
x 1 A x 11 1 A13 x3 B1u x y C
系统不完全能控，不完全能观时，存在非奇异变换
x Rx
Ax Bu x
经过线性状态变换,可以化为下列形式
y Cx
0 x 1 A 11 2 A12 A22 x x 3 0 0 4 x 0 0
1 1 1
x 3 A x 33 3 x y C
3 3 3
x x 4 A x A 43 3 44 4 y4 0
两个结论
① 最小实现：维数最小的那个状态空间表达式就是最小实现 ② 一个系统的传递函数所表示的是该系统既能控又能观的那 一部分子系统。
总结以上有以下定理：
线性定常系统，A具有互异的特征值，系统状态完全能控的充
要条件是经非奇异变换后的对角标准型输入阵不包括全零行
判别准则：A具有重特征值，且每一重特征值只对应一个独立特征向量。 系统状态完全能控的充要条件是经过非奇异变换后的约旦标准型每个 约旦小块最后一行对应的输入阵该行不全为零
逐步分解法
（1）先将系统按能控性分解 （2）将得到的不能控子系统按能观性分解 （3）将能控子系统按能观性分解 综合上述三次变换，即可得到系统能控性和能观性进行结构分解 的表达式 注意：先判断题目给的系统是完全能观还是完全能控（考虑计算 量的问题，一般二者必有其一），如果满足其中一个，只需要分 解一次即可。
是能观的，则存在非奇异变换
(21)
使其状态空问表达式(20)变换为：
(22)
其中
称形如式(22)的状态空间表达式为能观标准
型。
3.7：线性系统的结构分解
1、按能控性分解 设线性定常系统
(1) 是状态不完全能控，其能控性判别矩阵：
的秩
则存在非奇异变换：
(2)
将状态空间表达式(1)变换为： (3)
是经非奇异变换后的对角标准型输出阵不包含全零列
判别准则1（b）:线性定常系统，A具有重特征值，且每一重特征值只 对应一个特征向量，系统状态完全能观充要条件是经非奇异变换后的 约旦标准型每个约旦小块首行对应的输出阵该列不全为零
2）直接从A，C阵判断系统的能观性 判别准则2：线性定常系统状态完全能观充要条件是由A与C构
其中 个列矢量可以按如下方法构成，
前 个列 个列矢量 在确保 是能控性矩 为非奇异的 阵M中的 个线性无关的列，另外的
条件下，完全是任意的。
2、按能观性分解
设线性定常系统： (8) 其状态不完全能观的，其能观性判别矩阵
的秩
则存在非奇异变换：
(9)
将状态空间表达式(8)变换为：
(10)
其中
(11)
(12)
(13)
可见，经上述变换后系统分解为能观的
，维子系统：
和不能观的
，维子系统：
结构图如下。显然，若不考虑 便得到一个 非奇异变换阵 维的能观系统。 是这样构成的，取
维不能观测的子系统，
3、按能控性能观性分解
1)如果线性系统是不完全能控和不完全能观的，若对该系统同时按能 控性和能观性进行分解，则可以把系统分解成能控且能观、能控不能 观、不能控能观、不能控不能观四部分。当然，并非所有系统都能分 解成有这四个部分的。
3、单输出系统的能观标准型
1）能观标准 型
若线性定常系统： (13) 是能观的，则存在非奇异变换： (14)
使其状态空间表达式(13)化成：
(15)
其中
称形如式(15)的状态空间表达式为能观标准 型。其中 是矩阵A的特征多项式的各项系数。