正规方程组一般为病态方程组，当维数 较高时，病态严重，求解困难。 可以采取选择不同的基的方式，来改变 正规方程组的性态。 我们考虑最佳平方逼近多项式，采用正 交多项式做基函数。
2

b
a
函数f ( x)和g ( x)正交 ( f , g ) w( x) f ( x) g ( x)dx 0
a b
设次数不超过n的多项式空间为 n , 显然 是C[a, b]的一个子空间，
n的基为1, x,..., x n , 则，p( x) a0 a1 x ... an x n n 是f ( x)在 n的最佳逼近元的充分必要条件为
否则，就线性无关。 区间[a,b]上c11 ( x) .... cm m ( x) 0成立 就一定有c1 ... cm 0
假定1 ( x),....m ( x)是子空间S的基， 若函数g是最佳逼近元，则
( f g , 1 ( x)) 0,( f g , 2 ( x)) 0 ...., f g , m ( x)) 0 (
w( x) C[a, b]，w( x) 0，x [a, b] 称w( x)为权函数。
连续函数空间C[a, b]，给定权函数w( x) 对于f , g C[a, b]
最佳平方逼近多项式
给定函数f ( x) C[a, b], 求次数不超过n的 多项式p( x)，使得

b
a
w( x)( f ( x) p( x)) dx min
简记为Ax=b
求解这个方程，就能得到a， ，am， .....
从而得到f ( x)在子空间S中的最佳平方 逼近元g ( x) a11 ( x) ..... amm ( x)
(1 , 1 ) ( 2 , 1 ) ( , ) ( , ) 2 2 A 1 2 (1 , m ) ( 2 , m )
2

0
( x,sin x) x sin xdx 1,
2

0
2 a 8 b 1 法方程组为 2 3 8 a 24 b 1
2
a= 0.1148,b=0.6644, 这时，所求积分取最小值。
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
b a
..................... ( f p, x ) w( x) f ( x) (a0 a1 x ... an x n ) x n dx 0
n b a
这些方程称为法方程
a0 w( x)11dx a1 w( x) x 1dx ... an w( x) x n 1dx
这些方程称为法方程
(1 , 1 ) ( 2 , 1 ) ( , ) ( , ) 2 2 1 2 (1 , m ) ( 2 , m )
( m , 1 ) a1 ( f , 1 ) a ( f , ) ( m , 2 ) 2 2 ( m , m ) am ( f , m )
a0=1.8846 , a1=7.4880x, a2=7.4880
所以，最佳平方逼近二次多项式为 p(x)=1.8846 -7.4880x+7.4880x2
2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
例题：求a, b, 使得 (a+bx-sinx)2dx达到最小。
n n n n n
求解法方程组，得到a0，a1，，an ...
从而，f ( x)的最佳平方逼近n次多项式为 p( x) a0 a1 x ... 0,2]的最佳
x
平方逼近一次多项式。
解：取一次多项式空间的基为 x, 权函数w( x) 1 1,
( f p,1) 0,( f p, x) 0,...,( f p, x ) 0
n
( f p,1) w( x) f ( x) (a0 a1 x ... an x n ) 1dx 0
b a
( f p, x) w( x) f ( x) (a0 a1x ... an x n ) xdx 0
1 (1,1) 11dx 1, (1, x) 1 xdx 0 0 2
1 1
1 1 1 (1, x ) 1 x dx , ( x, x) x xdx 0 0 3 3 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 ( x, x ) x x dx , ( x , x ) x x dx 0 0 4 5 1 2 (1,sin( x)) 1 sin( x)dx 0 1 1 ( x,sin( x)) x sin( x) dx , 0 2 1 2
(1,1) 11dx 2,
0
2
(1, x) 1 xdx 2,
0
2
2
( x, x )
x
0
8 x xdx , 3
x 2
(e ,1) e 1dx e 1
0
2
(e , x) e xdx e 1
x x 2 0
2
2a0 2a1 e 1 法方程组为 8 2 2a0 a1 e 1 3
2
p(x)称为函数f(x)的最佳平方逼近 n次多项式
其中w(x)为权函数，默认值为 w(x)=1 考虑空间C[a,b], 是一个线性空间， 其维数是无限维的。 次数不超过n 的多项式构成 C[a,b] 的n+1维子空间。 可以利用有限维子空间上的逼近定 理来研究最佳平方逼近问题。
连续函数的内积
定义内积： ( f , g ) w( x) f ( x) g ( x)dx
2 2 ( x 2 ,sin( x)) x 2 sin( x)dx , 3 0
1
a0 1 a1 1 a2 2 2 3 1 1 法方程组为 2 a0 1 a1 1 a2 3 4 1 2 2 1 1 3 a0 4 a1 5 a2 3
2
a0=0.1945 ,
a1=3.0000
最佳平方逼近一次多项式为 0.1945+3.0000x
8 7 6 5 4 3 2 1 0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
例题：求f ( x) sin( x)在[0,1]的最佳 平方逼近二次多项式。
解：取二次多项式空间的基为 x, x2 ,权函数w( x) 1 1,
可设g ( x) a11 ( x) ..... amm ( x), 则
( f (a11 ( x) ..... amm ( x)), 1 ( x)) 0
( f (a11 ( x) ..... amm ( x)), 2 ( x)) 0
.......... ( f (a11 ( x) ..... amm ( x)), m ( x)) 0
a b
容易验证满足内积定义的4条性质
由此导出的函数f ( x)的范数： || f || ( f , f )

b
a
w( x) f 2 ( x)dx
两个函数f ( x)与g ( x)的距离
dist ( f , g ) || f g || ( f g , f g ) w( x) f ( x) g ( x) dx
( m , 1 ) ( m , 2 ) ( m , m )
称为函数1 ( x)， ，m ( x)的Gram矩阵， ..... A显然是对称矩阵。
若1 ( x)， ，m ( x)线性无关，则它们 ..... 的Gram矩阵正定。


2

0
解：实际上求sinx在区间[0, ]的最佳平方逼近 2 一次多项式。
取二次多项式空间的基为 x, 权函数w( x) 1 1,
(1,1) 11dx 2 ,(1, x) 1 xdx
2



2
2
8
0
( x, x) x xdx
2

0
3
24
0
(1,sin x) 1 sin xdx 1
1.5
最佳平方逼近问题的一般提法
给定函数f ( x) C[a, b], S C[a, b]是C[a, b] 中的有限维子空间，求g ( x) S , 使得

b
a
w( x)( f ( x) p( x))2 dx min
首先要找子空间S的基1 ( x),....m ( x)
1 ( x),....m ( x)要满足两条：
（）1 ( x),....m ( x)在给定区间[a,b]线性无关： 1
（2）1 ( x),....m ( x)的个数等于S的维数
函数在给定区间线性无关的定义
若存在不全为零的c1， ，cm，使得在区间[a,b] .... c11 ( x) .... cm m ( x) 0 称1 ( x),.... m ( x)线性相关，
a a a
b
b
b
w( x) f ( x) 1dx
a
b
a0 (1,1) a1 ( x,1) ... an ( x ,1) ( f ,1)