2 2 2 i =0
2
= ∫ (e
−1
1
t +1 2 2
) dt − [(e − 1) × (2e − 2) + (−3e + 9) × (−2e + 6) + (35e − 95) × (14e − 38)]
= 2 ∫ (e x ) 2 dx − 2[(e − 1) × (e − 1) + (−3e + 9) × (−e + 3) + (35e − 95) × (7e − 19)]
解得
* c0 =
( p0 , F ) 2(e − 1) = = e −1 ( p0 , p0 ) 2 ( p1 , F ) − 2e + 6 = = −3e + 9 ( p1 , p1 ) 2/3 ( p2 , F ) 14e − 38 = = 35e − 95 ( p2 , p2 ) 2/5
* c1 =
亦即
1 1 2 1 3 1 2 1 3 1 4 1 3 a 0 e − 1 1 a1 = 1 4 1 a 2 e − 2 5
解得 a0 = 1.01299, a1 = 0.85113, a 2 = 0.83918 ，所求最佳平方逼近多项式为
ϕ * ( x) = a 0ϕ 0 ( x) + a1ϕ 1 ( x) + a 2ϕ 2 ( x) = 0.83918 x 2 + 0.85113x + 1.01299
平方逼近误差为 δ ( x) 2 = f − p2 2 = f 2 − ∑ ai ( f ,ϕi ) ≈ 2.783545 × 10− 5 .
因此，对 f(x)的平方逼近误差为
δ 2 = f ( x) − ϕ * ( x) 2 =
2 2 2 1 F (t ) − ϕ * (t ) ≈ 2.783545 × 10− 5 . 2 2
（解法 2） 构造[0,1]上首项系数为 1 的正交多项式的前三项. 设
ϕ 0 ( x) = 1 , ϕ1 ( x) = x + a , ϕ 2 ( x) = x 2 + bx + c
相应的正规方程组为
(ϕ 0 , ϕ 0 ) (ϕ 0 , ϕ1 ) (ϕ 0 , ϕ 2 ) a 0 ( f , ϕ 0 ) (ϕ1 , ϕ 0 ) (ϕ1 , ϕ1 ) (ϕ1 , ϕ 2 ) a1 = ( f , ϕ1 ) (ϕ , ϕ ) (ϕ , ϕ ) (ϕ , ϕ ) a ( f , ϕ ) 2 2 1 2 2 2 2 0
1 * c 2 (3(2 x − 1) 2 − 1) 2 2 = (210e − 570) x + (−216e + 588) x + 39e − 105 = 0.83918 x 2 + 0.85113 x + 1.01299
对 F(t)的平方逼近误差为
δ
2 2
= F (t ) − ϕ * (t ) = F 2 − ∑ ci* ( F , pi )
例：求函数 f ( x) = e x 在[0,1]上的二次最佳平方逼近多项式，并估计平 ，小数点后保留 5 位. 方逼近误差 δ 2 2
解： （解法 1）
2
使用 Legendre 正交多项式
2 2
作变换 x = a + b + t b − a = 1 (1 + t ) ，则
f ( x) = e , x ∈ [0,1]
2 2 2 i =0
2
平方逼近误差为
δ ( x) 2 = f − ϕ * 2 = f
2 2
− ∑ ci* ( f , ϕi ) 2
2 i =0
2
= −248.5e 2 + 1350e − 1833.5 ≈ 2.783545 × 10−5
（解法 3）
使用线性无关函数族 ϕ0 ( x) = 1, ϕ1 ( x) = x, ϕ2 ( x) = x 2 ，
* * * 于是解得 c0 = e − 1, c1 = 18 − 6e, c2 = 210e − 570 ．
f ( x) = e x ( 0 ≤ x ≤ 1) 的最佳二次平方逼近多项式为
* * ϕ * ( x) = c 0 ϕ 0 ( x) + c1*ϕ1 ( x) + c 2 ϕ 2 ( x)
= (210e − 570) x 2 + (−216e + 588) x + 39e − 105 = 0.83918 x 2 + 0.85113x + 1.01299
Байду номын сангаас
由正交性 (ϕ 0 , ϕ1 ) = ∫0 1 ⋅ ( x + a)dx = 0 可解出 a = − . 又由正交性
(ϕ 0 , ϕ 2 ) = ∫ 1 ⋅ ( x 2 + bx + c)dx = 0
0 1
1
1 2
(ϕ1 , ϕ 2 ) = ∫ ( x + a ) ⋅ ( x 2 + bx + c)dx = 0
0
1
= −497e 2 + 2700e − 3667 ≈ 5.56709 × 10−5
注意作变换 x = a + b + t b − a = 1 (1 + t ) 后，有
2 2 2
∫ [ f ( x) − ϕ ( x)] dx =
* 2 0
1
b−a 1 [ F (t ) − ϕ * (t )]2 dt ∫ − 1 2
x
⇔
F (t ) = e
t +1 2
, t ∈ [−1,1]
已知 Legendre 多项式
p 0 (t ) = 1, p1 (t ) = t , p 2 (t ) = 1 2 (3t − 1) 2
在[−1,1]上关于权函数 ρ ( x) = 1 两两正交，于是相应的正规方程组为
* ( p0 , p0 ) c0 ( p 0 , F ) * ( p1 , p1 ) c1 = ( p1 , F ) * ( p2 , p2 ) c 2 ( p 2 , F )
* c2 =
故 F (t ) = e
t +1 2
( − 1 ≤ t ≤ 1) 的最佳二次平方逼近多项式为
* * * ϕ * (t ) = c0 p0 (t ) + c1 p1 (t ) + c2 p2 (t )
f ( x) = e x ( 0 ≤ x ≤ 1) 的最佳二次平方逼近多项式为
* * (2 x − 1) + ϕ * ( x) = c0 + c1
0
1
可解出 b = −1 , c = ，正规方程组为
* c0 (ϕ0 , ϕ0 )
1 6
c (ϕ1 , ϕ1 )
* 1
= (ϕ0 , f ) = (ϕ1 , f )
* c2 (ϕ 2 , ϕ 2 ) = (ϕ2 , f )
计算可得
1 1 ， (ϕ 2 , ϕ 2 ) = 180 12 3−e 7e − 19 ， ( f , ϕ2 ) = ( f , ϕ 0 ) = e − 1 ， ( f , ϕ1 ) = 2 6 (ϕ 0 , ϕ 0 ) = 1 ， (ϕ1 , ϕ1 ) =