3-2=1
1根单链杆=减少1个约束 链杆可以是曲的、折的杆，只要保持两铰间距不变，起 到两铰连线方向约束作用即可
6-4=2
1个单铰=减少2个约束 =2根单链杆 9
6-3=3
1个刚节点=3个约束
b.复约束：连接三个或三个以上钢片的约束 复铰：连结两个以上刚片的 铰称为复铰。 连结n 个刚片的复铰相当于 (n－1)个单铰。
14
Ⅰ C A
Ⅰ C A [Ⅰ, Ⅱ] B B Ⅱ (b) 有限远虚铰情形2 D B
Ⅰ A
D Ⅱ
Ⅱ (c) 无穷远虚铰
(a) 有限远虚铰情形1
图2.10 虚铰的常见情形
[Ⅰ, Ⅱ ] ∞
C D
15
[Ⅰ, Ⅱ]
3.平面体系自由度计算
3.1铰结钢片体系
计算自由度 = 刚片总自由度数减总约束数
W = 3m-(2h+r) m---刚片数 h---单铰数 r---单链杆数（支座链杆）
学习难点：灵活运用三个基本组成规则分析平面杆件体系 的几何组成性质。
2
1 体系几何组成的定义
a.几何可变体系:不考虑材料的变形，在任何荷载作用下， 体系原有的几何形状和位置可以改变的体系。
b.几何不变体系:不考虑材料的变形，在任何荷载作用下， 几何形状和位置保持不变的体系。
3
c.几何瞬变体系:不考虑材料的变形，在任何荷载作用下， 几何形状和位置可能产生微小的改变，随之即变成几何不 变体系的体系。
Ⅰ 1 Ⅰ Ⅰ 1
Ⅰ A Ⅱ(参照刚片) (a) 实铰的相对位置固定
虚铰 O
O1
Ⅱ(参照刚片) (b) 虚铰的相对位置变化
图2.8 实铰和虚铰示例
12
Ⅰ
Ⅰ
A Ⅱ (a) 两刚片用铰结在一起的 两链杆相连
A Ⅱ (b) 两刚片用铰直接相连
图2.9实铰的常见情形
13
才从微小运动看，两根链杆所起的作 用相当于在链杆交点处的一个铰所起 的约束作用，此铰可称虚铰。
A(∞) II I
II I
A
II I
表述二：平面上的两个刚片通过三根链杆相连，如果这些链杆不全平 行且所在直线不全交于一点，则组成内部几何不变且无多余约束的体 系。
25
3. 三刚片规则
三个刚片用三个不共线的铰两两相连，所得的体系几何不 变，并且没有多余约束。
II I
II I
26
4.2 利用组成规律可以两种方式构造一般的结构：
43
本章小结 （1）平面杆件体系分为几何不变体系和几何可变体系。 进行几何组成分析的目的主要是：在一个体系被视作刚体体系 的前提下，研究如果保证这个体系成为几何不变体系，从而确 保它能被作为结构使用；同时，根据结构的几何组成，可以判 定结构是静定结构或超静定结构，以便正确选择相应的静力分 析方法和程序，这一点，以后各章经常会用到。 （2）几何不变且无多余约束体系的组成，一般遵循一条 总规则——“三角形规则“（“铰结三角形是内部无多余约束 的几何不变体系”），由此可导出三个基本组成规则——二元 体规则、两刚片规则（含两个表述）和三刚片规则。进行几何 组成分析时，常采用“简化体系→扩展局部→应用规则→作出 结论”的步骤。“三角形规则”对于分析常规体系非常适用， 但它们只是构成几何不变体系的充分条件，而不是必要条件， 因为有些复杂体系并不符合这些几何组成规则，但却也是几何 不变体系。对于复杂体系，可以采用其他的分析方法（如零载 法、矩阵分析法等）来判断确定。 44
y
x 1 Ⅰ
A
Ⅲ 3 2
10
yⅡ
c.多余约束：在一个体系中增加或减少一个约束，使得其自由 度保持不变，则此约束称为多余约束。
必要约束
多余约束
d.必要约束：在一个体系中增加或减少一个约束，将改变体 系的自由度，则此约束称为必要约束。
结论：只有必要约束才能对体系自由度有影响
11
2.4 实铰和虚铰
图2.2 内部构造不健全造成几何可变
FP A B A A1 (a) 原几何不变体系 FP C C1 B B1
(b) 外部约束布置不当
图2.3 外部约束布置不当造成几何可变
6
2. 几个基本概念
2.1刚片： 将体系中巳经肯定为几何不变的部分看作
是一个刚片。一根梁、一根链杆或者支承体系的基础也 可看作是一个刚片。
40
无多余约束的几何不变体系 几何不变体系 有n个多余约束的几何不变体系 几何常变体系 几何可变体系 几何瞬变体系
41
5 . 体系的几何组成与静力特性的关系
2.5.1 无多余约束的几何不变体系（静定结构） 静定结构从几何特征上定义为无多余约束的几何不变体 系。正因为没有多余约束，导致静定结构在静力特性上表现 为：全部反力和内力均可由静力平衡条件唯一确定。 2.5.2 有多余约束的几何不变体系（超静定结构） 超静定结构从几何特征上定义为有多余约束的几何不变 体系。由于存在多余约束，导致超静定结构在静力特性上表 现为：全部反力和内力无法仅由静力平衡条件唯一确定，必 须补充变形协调条件才能唯一确定。 2.5.3 几何瞬变体系及其静力特性 如2.4节所述，几何瞬变体系属于几何可变体系中的一种， 常由约束布置不当所致。其静力特性为：在有限大小的任意 荷载作用下，体系会出现无穷大的内力，因此不能用作结构。
第2章 平面体系的几何构造分析
1
本章导读
学习内容： 1.掌握几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系的概念， 2.掌握刚片、自由度、约束、实铰与虚铰的概念； 3.了解平面体系的计算自由度及其计算方法； 4.掌握平面几何不变体系的基本组成规则及其运用； 5.了解体系的几何组成与静力特性之间的关系。
学习目的：体系的 几何组成分析是判定体系能否作为建筑结构 使用的依据，可以确定静定结构计算途径，可以确定超静定结 构的多余约束的数目等。 学习重点:平面几何不变体系的基本组成规则及其运用；静 定结构与超静定结构的概念。
1. 一个点与一个刚片之间的组成方式
一个点与一个刚片之间用两根链杆相连,且三铰不在
一直线上,则组成无多余约束的几何不变体系。 2. 两个刚片之间的组成方式 两个刚片之间用一个铰和一根链杆相连, 且
II I II
I II
三铰不在一直线上,则组成无多余约束的几何
不变体系. 或两个刚片之间用三根链杆相连,且 三根链杆不交于一点,则组成无多余约束的几
（1）从基础出发构造
27
（2）从内部刚片出发构造
28
例如三铰拱
大地、AC、BC为刚片;A、B、C为单铰 无多余几何不变
29
减二元体简化分析 加二元体组成结构
30
加、减 二元体
无多余约束，几何不变
31
试分析图示体系的几何组成。 是什么 体系？ 有二元 体吗？
没有
有虚 铰吗？
有
无多余几何不变
32
Ⅲ
(a) 三实铰共线
(b) 一虚铰与两实铰共线
(c) 两虚铰与一实铰共线
图2.27 三个有限远铰共线形成的几何瞬变体系
38
∞
(a) 几何瞬变体系
(b) 几何瞬变体系
(c) 几何瞬变体系
(d) 几何常变体系
图2.28 一些常见的含无穷远虚铰的几何可变体系
39
4.5几何组成分析的一般步骤
第1步：求体系的计算自由度W。如果W>0，则体系必为 几何常变体系。若W≤0，还需按以下步骤进行分析，以确定体 系是否几何不变。本步骤一般可略去。 第2步：简化体系。常采取以下简化方法：若整体中有二 元体，则可依次去除；检查体系是否简支支承； 第3步：选取刚片。从简化后的体系内部选取合理的刚片， 这些刚片应符合几何组成规则的要求。 第4步：应用组成规则判定简化后的体系的几何组成性质， 其结果也就是原体系的几何组成性质。若本步骤出现无法应用 基本组成规则的情况，则说明第3步中选取的刚片不合理，应 重做第3和第4步。 第5步：下结论。结论应明确为下列四种结果之一：
FN
图2.24
(b) A 结点隔离体
由于微小转角q →0，所以FN→∞。这表明，该几何瞬变体系在 有限外力的作用下，将产生无穷大的内力，这会导致体系迅速 破坏，因此，几何瞬变体系不能作为结构。 35
FP 2sin
4.4 几何可变体系同几何组成规则之间的关系
1）不满足二元体规则的约束条件 若计划用于组成二元体的两链杆共线（或称这两链杆 夹角为p），则这两链杆组成的装置不能再称作二元体，同 时，也就不能在体系中增删这样的装置。 2）不满足二刚片规则的约束条件 对表述一，若链杆所在直线过铰心，将导致体系几何 瞬变，如图2.25所示。
例1
F
D C E
F
D C B E
A
A
B
F
D
C A
E
D
E
C
B A B
33
例2
1,3
例3 . .1,2
2,3
.
.
无多余约束的几何不变体系
几何瞬变体系
4.3 几何可变体系 2.4.1 几何常变体系和几何瞬变体系
FP B l A A1 l C FN A1 FP FN
(a) 原体系
现分析瞬变体系的受力特点。取A结点为隔离体，如图 2.24(b)所示。由竖向投影平衡得 FP 2 FN sin ，即
16
3.2 铰结链杆体系
常见的仅由全铰结点、链杆和支杆组成的体系，称 为铰结链杆体系。这类特定体系的计算自由度也可采用 以下更为简捷的公式计算
w =2j-（b+r）
j---结点个数 b---单链杆数 r---支座链杆
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【例1】试求图示铰结链杆体系的计算自由度。
j1 1b j3 1b j7 2r 1b 1b 1b 1b j2 1b j5 1b 1b 1b j6 1b 1r j8