Institute of Engineering Mechanics
F w
w
wmax
F
M w
F
F
M = Fw
d2w = − M dx2 EI
= − Fw EI
（小挠度假设）
d2w dx2
+
k
2
w
=
0
⎛ ⎜⎝
k
2
=
F EI
⎞ ⎟⎠
w = Asin kx + B cos kx
（A, B: 积分常数）
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临界压力计算
Beijing Jiaotong University
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—— 理想铰支中心压杆
问题：
思路：过程倒序
F
Fcr
Fcr
F
Fcr
Q
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1
理想铰支中心压杆
Beijing Jiaotong University
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l l 0.7l l 0.5l
l 2l l 0.5l L
w w
其他支座条件
Beijing Jiaotong University
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支承情况 失 稳 时 挠 曲 线 形 状
试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界力公式。 解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
Ｆ
Ｆ
M0
EIw" = −M (x) = −Fw + M0 令 :k2 = F
EI
x Ｆx Fw-M0
w"+ k 2 w = k 2 M 0 F
w = c cos kx + d sin kx + M 0 / F
Ｆx Fw-M0
kL=2π
临界力为：
M0 Ｆ
Fcr
=
4π 2EI L2
=
π 2EI (L / 2)2
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(μ = 0.5)
其他支座条件
Beijing Jiaotong University
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3
其他支座条件 — 思考题
Beijing Jiaotong University
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求如下支座压杆的临界压力: 1) 一端固支,一端自由; 2) 一端固支,一端铰支;
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3. 欧拉公式的适用范围: 线弹性(σ < σp)
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理想铰支中心压杆
Beijing Jiaotong University
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进一步讨论：(1) 失稳后的挠曲方程(F=Fcr)
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2
理想铰支中心压杆 — 例1 Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics
F
杆两端铰支, 由A-36钢管制成(E=200GPa, σp=250MPa), 长7.2m, 求[F]。
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F
kl = F l = nπ EI
l
F = n2π 2 EI l2
(取：n = 1)
Fcr
=
Fmin
=
π 2EI l2
理想铰支中心压杆的 欧拉公式
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理想铰支中心压杆
Beijing Jiaotong University
理想铰支中心压杆
Beijing Jiaotong University
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F
通解： w = Asin kx + B cos kx (k 2 = F / EI )
边界条件：① 当x = 0时, w = 0
⇒ B=0 ⇒ w = Asin kx l ② 当x = l 时, v = 0 ⇒ A sin kl = 0 *
(*)式成立条件:
(1) A=0 ——平凡解, 压杆的直线稳定平衡状态 ★(2) sin kl = 0 ——A≠0, 压杆的曲线稳定平衡状态
—— 失稳条件
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理想铰支中心压杆 失稳条件：sin kl = 0 (k 2 = F / EI )
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直线公式: σ cr =a−bλ
σ cr 临界应力总图
σs σ cr =σ s
σ cr =a−bλ
σp
σ cr
=
π 2E λ2
小柔度 中柔度
大柔度
λ
s
=
σ
s
− b
a
λp =
π 2E σP
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λ=μL i
临界应力经验公式
Beijing Jiaotong University
(惯性半径) 长细比(柔度)
欧拉公式的应用条件：
σ cr
=
π 2E λ2
≤σp
or λ ≥
π 2E σp
= λp
λ ≥λp 大柔度杆(或长细杆), 欧拉公式适用 λ <λp 中小柔度杆，欧拉公式不适用
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中小柔度杆的临界应力经验公式 Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics
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稳定平衡
不稳定平衡
随遇平衡（中性平衡）
两个稳定平衡状态
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结构失效模式
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两端铰支
一端固定 另端铰支
两端固定
Fcr
Fcr
Fcr
B
B
B
D
C
C
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
一端固定 两端固定但可沿 另端自由 横向相对移动
Fcr
Fcr
C— 挠曲线拐点
临界力Fcr 欧拉公式
Fcr
=

π 2EI l2
Fcr
≈
π 2EI (0.7l)2
Fcr
≈
π 2EI (0.5l)2
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抛物线公式: σcr=a-bλ2
临界应力总图
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临界应力经验公式 — 例1 Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics
Fcr
≈
π 2EI (2l ) 2
Fcr
=
π 2EI l2
长度系数μ μ北京= 交1通大学μ工≈程0力.7学研究μ所= 0汪.5越胜 μW=ang2Yue-Sheng μ = 1
其他支座条件 — 例1
Beijing Jiaotong University
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北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
其他支座条件
Beijing Jiaotong University
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细长压杆临界压力的欧拉公式统一形式:
Fcr
=
π 2EI ( μl ) 2
μ —压杆长度系数(与支座形式有关) μl—压杆的相当长度
M0 Ｆ
M0 Ｆ
边界条件为: x = 0, w = w' = 0 ; x = L,w = w' = 0
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其他支座条件 — 例1
Beijing Jiaotong University
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欧拉公式应用范围
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临界压力： 临界应力：
Fcr
=
π 2EI (μl)2
σ cr
=
Fcr A
=
π 2 EI (μL)2 A
=
π 2E (μL / i)2
= π2E λ2
i= I A