a 0 b2 4ac 0
（3）二次不等式a x2 +bx +c ≥ 0恒成立
a 0
b2
4ac
0
（4）二次不等式a x2 +bx +c ≤ 0恒成立
a 0
b2
4ac
0
题型二 定义域不为R时
例2. 关于x的不等式 2x2 9x m ≤ 0 在区间[ 2, 3]
上恒成立,则实数m的取值范围是_m___≤__9_.
变式2：若不等式x2 2x m 0的解集为空集,则实数 m的取值范围是 ____ .
变式3：若关于x的不等式：x2 mx 1 0的解集为R,
求实数m的取值范围。
变式 4.设函数 f(x)＝mx2－mx－1. 若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范围；
解 (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
一元二次不等式应用 恒成立问题
题型一 定义域为R时
例1：若不等式 x2 2x m 0
对任意实数x恒成立，求m取值范围。
分析：函数f (x) x2 2x m开口向上 f (x) 0恒成立需 0
=（-2）2 -4m 0，解得m 1
变式1：若函数 f (x) x2 2x m 的定义域为R， 则m的取值范围是__________。
解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，
记 g(x) 2x2 9x, x [2,3],
则问题转化为 m≤g(x)min
gmin ( x) g(3) 9, m ≤ 9.
分离参数法
【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将 不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不 等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归 为解关于参数的不等式的问题．
恒成立，则有：
①当
a
0时， ff
(m) 0 (n) 0
②当
a
0时，
b 2a
m
或
a
0时，
b 2a
n
或
a
0时，m
b 2a
n
f (m) 0
f (n) 0
0
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fmax( x) f (3) m 9 ≤ 0, o
m ≤ 9.
（2）转换求函数的最值
. 2
3x
.
练习1：若不等式 x2-2x+m>0 对于x∈(0,3)恒 成立,则实数m的取值范围是_______.
练习2：若不等式 mx2-2x+1>0 对于x∈(0,3)恒 成立,则实数m的取值范围是_______.
练习3：若不等式 x2-mx+4>0 对于x∈(0,3)恒 成立,则实数m的取值范围是_______.
二、二次函数型
（1） 若二次函数 y ax2 bx c (a 0, x R) 的函数值大于 0 恒成立，则
有
a 0 0
，
（2） 若二次函数 y ax2 bx c (a 0, x R) 的函数值在区间[m,n]大于 0
例2. 关于x的不等式 2x2 9x m ≤ 0 在区间[ 2, 3]
上恒成立,则实数m的取值范围是_m___≤__9_.
解：构造函数 f ( x) 2x2 9x m, x [2, 3],
问题等价于f(x)max≤0,
y
f ( x) 2( x 9)2 m 81 , x [2, 3],
若 m＝0，显然－1<0；
m<0，
若 m≠0，则
⇒－4<m<0.
Δ＝m2＋4m<0
所以－4<m≤0.
练习：若关于x的不等式：ax2 2ax+2 0的解集为R,
求实数a的取值范围。
题型一方法小结
（1）二次不等式a x2 +bx +c > 0恒成立
a 0
b2
4ac
0
（2）二次不等式a x2 +bx +c < 0恒成立