一元二次不等式恒成立问题专项练习 例题：设函数f (x )＝mx 2－mx －1.
(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；
(2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围.
(3)对于任意m ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数x 的取值范围. 解： (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，
若m ＝0，显然－1<0，满足题意；
若m ≠0，则⎩⎨⎧ m <0，
Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.∴－4<m ≤0.
(2)方法一 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，
就要使m ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －122
＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立.
令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122
＋34m －6，x ∈[1,3].
当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，
∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴0<m <67；
当m ＝0时，－6<0恒成立；
当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，
∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∴m <0.
综上所述，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫
－∞，67.
方法二 当x ∈[1,3]时，f (x )<－m ＋5恒成立，
即当x ∈[1,3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立.
∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －122
＋34>0，
又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6
x 2－x ＋1.
∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34
在[1,3]上的最小值为67
，∴只需
m <67即可.
综上所述，m 的取值范围是⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，67. (3) 解 f (x )<－m ＋5，即mx 2－mx －1<－m ＋5，
m (x 2－x ＋1)－6<0.
设g (m )＝m (x 2－x ＋1)－6.
则g (m )是关于m 的一次函数且斜率
x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34
＞0.
∴g (m )在[1,3]上为增函数，要使g (m )<0在[1,3]上恒成立，只需g (m )max ＝g (3)<0， 即3(x 2－x ＋1)－6<0，x 2－x －1<0，
方程x 2－x －1＝0的两根为x 1＝1－52，x 2＝1＋52， ∴x 2－x －1<0的解集为⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－52，1＋52， 即x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52
，1＋52. 练习：
1. 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________. 解析： 构造函数f (x )＝x 2＋mx ＋4，x ∈[1,2]，
则f (x )在[1,2]上的最大值为f (1)或f (2).
由于当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立.
则有⎩⎨⎧ f 1≤0，f 2≤0，即⎩⎨⎧ 1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0，
可得⎩⎨⎧ m ≤－5，m ≤－4，所以m ≤－5.
2.若不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )
A.m ≥2
B.m ≤－2
C.m ≤－2或m ≥2
D.－2≤m ≤2
答案 D
解析 由题意，得Δ＝m 2－4≤0，∴－2≤m ≤2.
3.当不等式x 2＋x ＋k >0恒成立时，k 的取值范围为________.
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，＋∞ 解析 由题意知Δ<0，即1－4k <0，
得k >14，即k ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，＋∞.
3.若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的最大值为
( )
A.1
B.－1
C.－3
D.3
答案 C
解析 由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x ∈(0,1]恒成立，
又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数，
∴f (x )min ＝f (1)＝－3，
∴m ≤－3，
∴m 的最大值为－3.
4.对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )
A.1<x <3
B.x <1或x >3
C.1<x <2
D.x <1或x >2
答案 B
解析 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)， g (a )＞0恒成立且a ∈[－1,1]
⇔⎩⎨⎧ g 1＝x 2－3x ＋2>0，g －1＝x 2－5x ＋6>0
⇔⎩⎨⎧ x <1或x >2，x <2或x >3⇔x <1或x >3.
5.对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A.(－∞，2)
B.(－∞，2]
C.(－2,2)
D.(－2,2]
答案 D 解析 当a －2≠0时，
⎩⎨⎧ a －2<0，4a －22－4
a －2·－4<0，即⎩⎨⎧ a <2，a 2<4， 解得－2<a <2.
当a －2＝0时，－4<0恒成立，
综上所述，－2<a ≤2.
6.若不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________.
答案 ⎝ ⎛⎦
⎥⎤－35，1 解析 ①当a 2－1＝0时，a ＝1或a ＝－1.
若a ＝1，则原不等式为－1<0，恒成立，满足题意.
若a ＝－1，则原不等式为2x －1<0，
即x <12
，不合题意，舍去. ②当a 2－1≠0，即a ≠±1时，
原不等式的解集为R 的条件是
⎩⎨⎧ a 2－1<0，Δ＝[－a －1]2＋4a 2－1<0，解得－35
<a <1. 综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤－35，1. 7．已知函数f (x )＝x 2
＋ax ＋3.
(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围；
(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围． 解 (1)f (x )≥a 恒成立，即x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，必须且只需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，
∴－6≤a ≤2，∴a 的取值范围为[－6,2]．
(2)f (x )＝x 2＋ax ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋3－a 2
4.
①当－a 2<－2，即a >4时， f (x )min ＝f (－2)＝－2a ＋7，
由－2a ＋7≥a ，得a ≤73
，∴a 不存在； ②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )min ＝3－a 24， 由3－a 24
≥a ，得－6≤a ≤2，∴－4≤a ≤2； ③当－a 2
>2，即a <－4时，f (x )min ＝f (2)＝2a ＋7， 由2a ＋7≥a ，得a ≥－7，∴－7≤a <－4. 综上，a 的取值范围为[－7,2]．。