•1．求支座反力；
•2．分段确定剪力图和弯矩图的形状；
•3．计算控制截面内力值，根据微分关系绘剪力图 和弯矩图；
•4．确定
和
。
•例 试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关
系校核图示的剪力图和弯矩图。
•Me =3qa2•q
•A
•B
•a •C
•x
•3a
•FS
•5qa/ 3
•8a/3
•M •5qa2/ 3
•可动 铰支座
•2、常见静定梁
• 悬臂梁：一端固定、 另一端自由的梁
• 简支梁：一端固定铰支 、另一端可动铰支的梁
• 外伸梁：具有一个或
•F
两个外伸部分的简支梁
•F •F
•F
•基本形式梁的约束反
力•(1)悬臂梁
•FR•xMR
•FR
•(2)简支梁
y
•FRx •FRy
•(3)外伸梁
1
•FRx
•FRy
•m
•B
•称为弯矩
•剪力和弯矩的符号规则：
•剪力：使微段有沿顺时 针方向转动趋势为正
•弯矩：使微段弯曲呈 下凹形为正
•截面法求剪力和弯矩的步骤: •(1)所求内力处截开截面,取一部分来研究; •(2)将该截面上内力设为正值; •(3)由平衡方程求解内力;
•例 求图示外伸梁在截面1—1、2—2、3—3和4—4
•例：利用微积分关系画剪力弯矩图
•qa/
•q
•A •B2 •C
•a/ •a/
•a
22
•5qa/
•F 8 •5qa/
•F S •+ 8 •qa/8
S •A •B •C
•-
•M
•3qa2/
•5qa2/1 8
•M 6
•+
•49qa2/12 8
•A •B •C
•1、求支反力：FAy=5qa/8 FDy= 7qa/8 •2、微分关系确定各段曲线形状： •D •3、积分关系求特征点剪力弯矩值： •7qa/8 •4、画剪力弯矩图：
•m
•FB
A
•A •x •m
•B
•y
•取左侧分离体分析任一横截面m-m
•FA •m •M 上的内力
•A •x ••Cm•FS•x
•由其右边分离体的平衡条件同样可
得
•F
•a
•F
•m
•FB
A
•A •x •m
•B
•y
•称为剪力
•FA •m •M
•A •x ••Cm•FS•x
•FS •m
•F
•FB
•M •C
工程力学弯曲内力)
•§10-1 弯曲的概念及梁的计算简图
•弯曲实例
•上图：水闸立柱 •下图：跳板
•Ⅰ、弯曲的概念
•受力特点：
•杆件受到垂直于杆轴线的外力（横向力）或外力 偶（其矢量垂直于杆轴）作用。
•Me
•Me
•F
•A
•B
•Me
•Me
•F
•A
•B
•变形特点： •1、直杆的轴线在变形后变为曲线； •2、任意两横截面绕垂直于杆轴的轴作相对转动 。 •梁 •——以弯曲为主要变形的杆件通称为梁。
横截面上的剪力和弯矩。
•y
•Me =3Fa
•F
•1•A•2 •3 •4 •B
•
•1 •2 •3 •4
•x
•a
•a
•F •2a
•FB
•解：支反力为A
•y
•F
•1•A•2
•
•1 •2
•a
•F
•Me =3Fa
•3 •4 •B
•3 •4
•x
•a
•2a
•FB
•截面1—1 A
•F
•C•11 •M1
•1•FS1 •截面2—2
•例 图示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。试 作梁的剪力图和弯矩图。
•A
•l
•x •B
•解：1、以自由端为坐标原点，则可不求反力 列剪力方程和弯矩方程：
•M(x) •x •B
•FS(x)
•2、 作剪力图和弯矩图
•ql
•A •x
•l
•B
•FS
•M •l/2
•
•x
•2
•ql2 •8
•ql2
•例 图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁 的剪力图和弯矩图。 •q
•M
•l/2
•§10-4 弯矩、剪力与分布荷载集度之间的微分关系
•y •O
•F •m •n •m •n
•x•q(x) •dx
• •Me •M(x) •m •n•M(x)+dM(x)
•x•FS(x •m )
•C •n•FS(x)+dFS(x)
•q(x)
•略去
•y
•F
• •Me
•O
•x
•q(x)
•q(x)、FS(x)、M(x)间的微分关系
•FSC
•qa/ •x •M(x) 3
•FS(x)
•2、 校核弯矩图
•Me
=3qa2 •q
•AC段
•A •a •C •3a
•B•x•剪力=常量 •弯矩图→斜率为
•FS
•5qa/ 3
•正值的斜直线
•8a/3
•M •5qa2/ 3
•弯矩值：
•qa/ •x
3
•支座A：MA=0
•qa2/18 •C截面左侧:
•F
•C2•2 •M2
•FA •2•FS2
•y
•F
•1•A•2
•
•1 •2
•a
•F
•截面3—3 A
•F
•FA
•Me =3Fa
•3 •4 •B
•3 •4
•x
•a
•2a
•FB
•C3•3 •M3 •3•FS3
•截面4—4 •M4 •4•C4
•FS•44
•FB
•F
•FA=3F
•Me
•FB =-
•1 •2
•3 •=43Fa
2F
•
•A•1 •2
•3 •4
•B •x
内力
FS M
1—1 -F -Fa
2—2 2F -Fa
3—3 2F Fa
4—4 2F -2Fa
•§10-3 剪力方程和弯矩方程 • 剪力图和弯矩图
•剪力方程 •弯矩方程
•反映梁的横截面上的 剪力和弯矩随截面位置 变化的函数式
•显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则 分别称为剪力图和弯矩图。
•其中分布荷载集度 q(x) 以向上为正，向下为负 。
•几种常见荷载下FS 图和M 图的特征
•
时，弯矩M(x)为极值。
•集中力作用 处
•集中力偶作用处
•利用以上特征
•1、可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确 ；
•2、可以不建立剪力方程和弯矩方程，利用微分 关系直接绘制剪力图和弯矩图。
•利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图的步骤：
•F
•x
•FS(x)
A
•B •x
•FB
•qa/ •x 3
•1、 校核剪力图
•CB段
•A
•q=常量<0
•FA
•剪力图为向右下
方倾斜的斜直线 •FS
•因C点处无集中力 作用，剪力图在该 处无突变，故
•Me =3qa2 •q
•x •C
•a
•3
•5qa/ a
3
•B •x
•FB
•8a/
3 •q •MC
•x-a
•D
•7qa/ 8
•D
•A+ •B- •B+ •C- •D-
•Fs •M
•5qa/ 8
•0
•5qa/8
•5qa2/1 6
•qa/8 •5qa2/1
6
•qa/8
•3qa2/ 8
•-7qa/8 •0
•AB •BC
•CD
•q •q = 0 •q = 0 •q =常数< 0
•Fs 图•M 图
•水平 •斜上
•水平 •斜上
•K
•B
•1m •FBy
•0.5m
•已知：
•(逆时针)
•q
a
q
a
•A
•qa
•B
•C
2
•a
•a
•q
•A
•a/2 •+a
•- •B•-
•C
•q
a
•A
•B •
•C
•qa
2
•-5/4qa
•qa
2
2
•例：试绘出图示有中间铰的静定梁的剪力弯矩图。
•MA •F •F=50kN •q=20kN/m
•
•Me=5kN·m
Ay
•FAx
•A •E
•1m
•C •D
•1m
•3m
•斜下 •2次凸曲线
•例：利用微积分关系画剪力弯矩图
•1/3qa •q
•qa •2/3q
•a a •a 2 •aa
•A
•B
•C •D
•1/3qa
•+
•A
•B
•1/3qa
2
•+
•A
•B
•C •-
•D
•2/3q a
•2/3qa2
•+ •-•C •D
•1/3qa
2
•例：利用微积分关系画剪力弯矩图
•q
•2
•l
•FB
•解：1、求支反力
•2、列剪力方程和弯矩方 •——需分两段列出 程
•A