第三章柯西定理柯西积分掌握内容：1.柯西积分定理：若函数()f z 在围线C 之内是处处解析的，则()Cf z dz =⎰0 。

2.柯西积分定理的推广：若函数()f z 在围线C 之内的,,...n z z z 12点不解析，则()()()...()nCC C C f z dz f z dz f z dz f z dz =+++⎰⎰⎰⎰12，其中,,...nC C C 12是分别以,,...n z z z 12为圆点，以充分小的ε为半径的圆。

3.若在围线C 之内存在不解析点，复变函数沿围线积分怎么求呢？——运用柯西积分公式。

柯西积分公式：若函数z 0在围线C 之内，函数()f z 在围线C 之内是处处解析的，则()()Cf z dz if z z z π=-⎰002 4.柯西积分公式的高阶求导公式：若函数z 0在围线C 之内，函数()f z 在围线C 之内是处处解析的，则()()()()!n n Cf z i dz f z z z n π+=-⎰0102习题：1.计算积分⎰++-idz ix y x 102)(积分路径是直线段。

解：令iy x z +=，则idy dx dz += 积分路径如图所示：在积分路径上：x y =，所以313121212131211032223211211211210102102102i x ix y i x ix x dxix x i iydy xdx dx ix x dy ix x i iydy ydx dx ix x idy dx ix y x dz ix y x ii+-=-+--+=++--+=++--+=++-=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++)()()()()())(()(2.计算积分⎰-iidz z 。

积分路径分别是：（1）直线段，（2）右半单位圆，（3）左半单位圆。

解：（1）令z x i y =+，则z dz xd idy ==+，在积分路径上，0x =，所以11iiz dz iydy iydy i--=-+=⎰⎰⎰（2）令i z re θ=，在积分路径上：,1i z r dz ie d θθ===//222i i iz dz ie d i πθπθ--==⎰⎰（3）令i z re θ=，在积分路径上：,1i z r dz ie d θθ===//2322ii iz dz ie d i πθπθ-==⎰⎰5.不用计算，证明下列分之值为零，其中为单位圆。

（1）cos C dz z ⎰，（2）222C dz z z ++⎰，（3）256zCe dz z z ++⎰，解：（1）因为函数cos 1z 在单位圆所围的区域内解析，所以cos 0Cdzz =⎰。

（2）因为函数2122z z ++在单位圆内解析，所以2022Cdzz z =++⎰。

C（3）因为函数()()215623ze z z z z =++++的不解析点不包含在单位围线之内，所以由柯西积分定理有：2056zCe dz z z =++⎰6.计算1z dz z =⎰，1z dz z =⎰，||1z dz z =⎰，||1z dzz =⎰。

解：（1）由柯西积分公式：()()002Cf z dz if z z z π=-⎰，其中，0z 在围线内。

()1f z =，所以()1202z dzif i z ππ===⎰（2）被积函数1z在复平面上不是解析函数，所以不能用柯西积分定理和柯西积分公式，其积分值与积分路径有关。

根据积分路径1z =，令i z e θ=，则210i z dzied z πθθ===⎰⎰（3）被积变量为dz ，根据积分路径1z =，令i z e θ=，则：()i i dz d e ie d d θθθθ===|||i i z dz e e d z i θπθπθ--===-=⎰⎰22001（4）根据积分路径1z =，令i z e θ=，||z dzd zπθπ===⎰⎰2012 7.由积分2C dz z +⎰之值，证明cos cos 2012054d πθθθ+=+⎰，其中C 取单位圆。

证明：因为被积函数的奇点在积分围道外，故，现令，则在上，， 2z =-1z =02cdzz =+⎰i z re θ=1z =cos sin i z e i θθθ==+()cos sin i dz ie d i i d θθθθθ==+比较可得：8.计算：（1）22121(:)Cz z dz C z z -+=-⎰。

解： 。

10.设表圆周223x y +=，371()d Cf z z ξξξξ++=-⎰，求(1)f i '+。

解：设2371()g ζζζ=++，它在复平面内解析，故当z C ∈时，则由柯西积分公式有：所以。

11.求积分从而证明：。

解：由于:1C z =，函数()/z f z e z =在0z =处不解析2c dz z =+⎰()20cos sin 2cos sin i i d i πθθθθθ+++⎰()()()()cos sin 2cos sin 2cos sin 2cos sin i i d i i πθθθθθθθθθ++-+++-⎰20-=()202sin 2cos 154cos i d πθθθθ-++=+⎰202sin 054cos d πθθθ=+⎰202cos 154cos d πθθθ+=+⎰222122112(2)111c c c z z z z z z dz dz z dz z z z -+-++-+==+---⎰⎰⎰11(21)(2)11cc c c z dz z dz dz dzz z =++=++--⎰⎰⎰⎰002(1)2if i ππ=++=C ()()()2237122371c cg f d dz ig z i z z Z z ζζζζππζζ++⎡⎤====++⎣⎦--⎰⎰z ()()21123712671226z i z if i z z i z iππππ=+=+''⎡⎤=++=+=-+⎣⎦1+i (),:1,zc e dz C z z=⎰cos cos(sin )e d πθθθπ=⎰00(2)2z zz c e dz ie i z ππ===⎰令则故所以即13.设2z z f =)(，利用本章例5验证柯西积分公式⎰-=Cz d f i z f ζζζ)()(π21以及柯西求导公式⎰+-=Cn n z d f i n z f 1π2)()(!)()(ζζζ 提示：把)(ζf 写成222z z z z +-+-)()(ζζ。

证明：设2222z z z z f +-+-==)()()(ζζζζ， 则式的右边为可写为：⎰⎰-+-+-=-=C C dz zz z z z i z d f i z f ζζζζζζ222π21π21)()()()( 由柯西积分定理有：所以右边,i i z e dz ie d θθθ==[]cos sin 22cos 00cos(sin )sin(sin )2z i i i c e e d ie d i e i d i z e θθππθθθθθθθθπ+==+=⎰⎰⎰22cos cos 0cos(sin )sin(sin )2e d e i d ππθθθθθθπ+=⎰⎰cos 02cos(sin )2e d πθθθπ=⎰cos cos(sin )e d πθθθπ=⎰()2122c c z z z d d i z ζζζππζ-++⎡⎤⎣⎦-⎰⎰ 1=2i ()1202c z z d iζζπ-+=⎡⎤⎣⎦⎰即左边=右边。

再由式子可知当时成立。

假设当时等式成立。

则当时成立。

所以14.求积分（1）⎰-C dz z z 51)(cos π，（2）⎰+Czdz z e 221)(，其中)(:1>=a a z C 解：（1）被积函数有奇点，该奇点在积分围道内，由柯西积分求导公式有：（2）先用柯西积分定理的推广式，把对围线C 的积分变成对围线C 1和围线C 2的积分，然后再用柯西积分公式的高阶求导。

22211222c z d z i z i z iζππζπ===-⎰ 1n =()()()()21122c c f f f z d d i z i z ζζζζπζπζ'⎡⎤'==⎢⎥--⎣⎦⎰⎰ n k =1!()()2()k k c k f d f z i z ζζπζ+=-⎰1n k =+()121!()()2()k k c k f d f z i z ξξπξ+++=-⎰()()()()1!2n n c f n f z d i z ζζπζ+=-⎰ 1z =()5cos 1c zdz z π-⎰[]()45244122cos 1cos 4!4!12z i d i z i dz ππππππ===-=-''2222222212()()(2):22(1)()()()()z zz z z c c c z i z i e e e e e z i z i dz dz dz i i z z i z i z i z i ππ==-⎡⎤⎡⎤+-=+=+⎢⎥⎢⎥+-++-⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰(1)(1))224i i i e i e i πππ-=--+=-。