幂 函 数
一、知识清单
1．幂函数的概念：形如y x α
=
注意：幂函数与指数函数的区别． 2.幂函数的性质：
（1）幂函数的图象都过点 （1,1） ； 任何幂函数都不过 四 象限；
（2）当0α>时，幂函数在[0,)+∞上 递增 ； 当0α<时，幂函数在(0,)+∞上 递减 ；（3）画出α=1,2,3,-1,1/2时，幂函数的图像 二、典例回顾
例1．已知函数()()
2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x 是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；
【变式训练】．幂函数2
23
m
m y x --=（m Z ∈）的图象与x 、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 值．
例2．下列函数在(),0-∞上为减函数的是（ ） Ａ．1
3y x = Ｂ．2y x = Ｃ．3
y x = Ｄ．2y x -=
例3、（1）当01x <<时，()()()1
2
22
,,f x x g x x h x x -===的大小关系是（ ）
A. ()()()h x g x f x <<
B. ()()()h x f x g x <<
C. ()()()g x h x f x <<
D. ()()()f x g x h x << （2）当3
2x x >成立时,x 的取值范围是 ( )
A x<1且x ≠0
B 0<x<1
C x>1
D x<1 例4、当()+∞∈,1x 时，下列函数恒在x y =下方的偶函数是（ ） A. 2
1x y = B. 2
-=x y C. 2x y = D.1
-=x
y
三、练习 A 组
1、下列命题①幂函数的图象都经过点()()0,01,1和 ②幂函数的图象不可能在第四象限；③当0=n 时
n x y =的图象是一条直线 ④幂函数n x y =，当0>n 时，是增函数；⑤幂函数n x y =当0<n 时
在第一象限内函数值随x 的增大而减小。

为真命题的是（ ） A. ①④ B. ④⑤ C. ②③ D. ②⑤ 2.下列函数中，不是幂函数的是 （ ） A.x
y 2= B.1
-=x y C.x y =
D.2x y =
3.设⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-
--∈,3,2,1,21,31,21,1,2α，则使αx x f =)(为奇函数且在),0(+∞内单调递减的α值的个数是 （ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 4.如果幂函数y=
()
2
2
2
33--+-m m
x m m
的图象不过原点，则m 的值是（ ）
A.21≤≤-m
B.2,1==m m
C.2=m
D.1=m 5. 幂函数的图象过点( 2 , 41
),则它的单调递增区间是
6.已知函数()
233a y a a x =-+（a 为常数）为幂函数，则a = 7.若幂函数)(x f y =的图象经过点⎪⎭
⎫ ⎝⎛31,9，则)25(f = 8.设幂函数α
x
y =的图象经过点()4,8，则函数α
x
y =的值域是 [)+∞,0
9.求下列幂函数的定义域，并指出它们的奇偶性。

（1）3
2x
y =（2）
6
5x
y =（3）5
4-=x
y （4）
2
3-=x
y
10、若()2
12
123a a
-<，则实数a 的取值范围是
11.已知点
(
)
22，在幂函数)(x f 的图象上，点⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-41,2在幂函数)(x g 的图象上，问当x 为何值时，
（1）)()(x g x f >；（2）)()(x g x f =；（3）)()(x g x f <
12.已知函数()
5
522
23+-⋅+-=a a
x a a y
（1） a 为何值时此函数为幂函数？ （2） a 为何值时此函数为正比例函数？ （3） a 为何值时此函数为反比例函数
13.已知(
)
2
1
2
1
2223m y m m x n -=+-⋅+-是幂函数，求m 、n 的值.
B 组
14、比较下列各组数的大小
(1)3
23
2)
2.1(,
3.1--- (2)3
2313
2)
4(,)4.2(,1
.2--- (3)7
3324
3)
8.0(,5.2,3.6
--
15.设231
22
11)(,)(,)(x x f x
x f x x f ===-则[{})]2009(321f f f =
16.已知幂函数的图象过点()
2,2，则它的最小值是
17.已知函数()()2221
21
mx mx m f x m R x x -+-=∈-+，试比较()5f 与()f π-的大小
18.已知函数()()223
m m f x x
m Z -++=∈为偶函数，且()()35f f <.
⑴求m 的值，并确定()f x 的解析式
⑵若()()()log 01a g x f x ax a a =->≠⎡⎤⎣⎦且在[]2,3上为增函数，求实数a 的取值范围.。