幂函数及其性质
相关知识点：
1.幂函数的定义
一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2.幂函数的性质
(1). 恒过点(1，1)，且不过第四象限．
(2). 当α＞0时，幂函数在(0，＋∞)上都是增函数；当α＜0时，幂函数在(0，＋∞)上都是减函数．
( 3). 在第一象限内，直线x ＝1的右侧，图象由上到下，相应的指数由大变小． (4).当α为偶数，y ＝x α是偶函数；当α为奇数，y ＝x α是奇函数。

基础训练：
1. 下列函数是幂函数的是( )
A ．y ＝5x
B ．y ＝x 5
C ．y ＝5x
D ．y ＝(x ＋1)3
2.已知函数y ＝(m 2＋2m －2)x m ＋
2＋2n －3是幂函数，则m=________，n=_________. 3.已知幂函数f (x )＝x α
的图象经过点(9，3)，则f (100)＝________． 4. 下列幂函数在(－∞，0)上为减函数的是( )
A ．y ＝x
B ．y ＝x 2
C ．y ＝x 3
D ．y ＝x 12
5. 下列函数中，定义域为R 的是( )
A ．y ＝x －2
B ．y ＝x 12
C ．y ＝x 2
D ．y ＝x －
1 6. 函数y ＝x 53
的图象大致是( )
7. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
A ．y ＝x －2
B ．y ＝x
－1
C ．y ＝x 2
D ．y ＝x 1
3
8. 函数y ＝x －
2在区间[12
，2]上的值域为________．
9. 设α∈{－1，1，12，3}，则使y ＝x α
的定义域为R 且为奇函数的所有α的值组成的
集合为________．
例题精析：
例1.如图，图中曲线是幂函数y ＝x α
在第一象限的大致图象．已知α取－2，－12，12，
2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为______________
变式训练：
幂函数y ＝x
－1
及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦
限”：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧(如图所示)，那么幂函数y ＝x 12
的图象经过的“卦限”是___________.
例2．比较下列各组数的大小：
(1)3－52和3.1－52； (2)－8－78和－(19
)7
8；
(3)(－23)－23和(－π6)－23； (4)4.125，3.8－23和(－1.9)－3
5
.
变式训练：
用“>”或“<”填空：
(1)(23)12________(34)12
；(2)(－23)－1________(－35)－1；(3)(－2.1)3
7________(－2.2)－37
.
例3已知幂函数f (x )＝(t 3－t ＋1)x 1
2(1－4t －t 2)是偶函数，且在(0，＋∞)上为增函数，求
函数解析式．
变式训练：
若函数f (x )＝(m 2－m －1)x －m ＋1
是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上是减函数，求实数m 的
取值范围.
课后作业：
1. 若幂函数f (x )的图象经过点(2，14)，则f (1
2
)＝________．
2.设α∈{－1，1，12，3}，则使幂函数y ＝x α
的定义域为R 的所有α的值为_________.
3. 幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，1
8)，则满足f (x )＝－27的x 值等于________．
4. 函数y ＝a x －2(a ＞0且a ≠1，－1≤x ≤1)的值域是[－5
3，1]，则实数a ＝__________
5. 比较下列各组中两个值的大小：
(1)1.53
5
与1.635
； (2)0.61.3与0.71.3； (3)3.5－23与5.3－23； (4)0.18－0.3与0.15－
0.3.
6. 设a ＝(25)35，b ＝(25)25
，c ＝(35)25，则a ，b ，c 的大小关系是_______________
7. 已知函数y ＝x 2
3
. (1)求定义域； (2)判断奇偶性；
(3)已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由 图象确定单调区间．
8.已知幂函数y ＝x 3m －
9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m
3
的a 的取值范围．
9. 点(2，2)与点(－2，－1
2)分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，有
(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )?。