思维特训(十六) 线段计算中的数学思想方法点津·方程思想是指把数学问题通过适当的途径转化为方程，从而使问题得到解决的思想方法．有关线段比的问题(或倍或几分之一)常常通过列方程求解．分类讨论思想就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干个不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种解题思想．在线段计算中，由于线段及端点的不确定性往往需要分类讨论．整体思想就是通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．在线段计算中，求一条线段上两个中点之间的距离时常用到整体的思想．典题精练·类型一方程的思想1．已知：如图16－S－1，B，C是线段AD上两点，且AB∶BC∶CD＝2∶4∶3，M 是AD的中点，CD＝9 cm，求线段MC的长．图16－S－1类型二分类讨论的思想2．如果一点在由两条有公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，这点就叫做这条折线的“折中点”．如图16－S－2，点D是折线ACB的“折中点”，请解答以下问题：图16－S－2(1)已知AC＝m，BC＝n.- 1 -当m＞n时，点D在线段________上；当m＝n时，点D与________重合；当m＜n时，点D在线段________上．(2)若E为线段AC的中点，EC＝4，CD＝3，求BC的长．类型三整体的思想3．如图16－S－3所示，点C在线段AB上，AC＝8 cm，CB＝6 cm，M，N分别是AC，BC的中点．(1)求线段MN的长；(2)若C为线段AB上任意一点，满足AC＋CB＝a cm，其他条件不变，你能猜想出MN 的长度吗？并说明理由；(3)若点C在线段AB的延长线上，且满足AC－CB＝b cm，M，N分别为AC，BC的中点，你能猜想出MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．图16－S－3- 2 -- 3 -详解详析1．解：因为AB ∶BC ∶CD ＝2∶4∶3， 所以设AB ＝2x cm ，BC ＝4x cm ，CD ＝3x cm ， 所以3x ＝9，解得x ＝3， 所以AB ＝6 cm ，BC ＝12 cm ，所以AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝6＋12＋9＝27(cm )． 又因为M 是AD 的中点， 所以MD ＝12AD ＝13.5 cm ，所以MC ＝13.5－9＝4.5(cm )． 2．解：(1)AC 点C BC (2)若点D 在线段AC 上，因为E 为线段AC 的中点，EC ＝4， 所以AC ＝2EC ＝8.因为CD ＝3，所以AD ＝AC －CD ＝5. 因为BC ＋CD ＝AD ＝5，所以BC ＝5－3＝2；若点D 在线段BC 上，因为E 为线段AC 的中点，EC ＝4，所以AC ＝2EC ＝8. 因为CD ＝3， 所以AC ＋CD ＝11.因为BD ＝AC ＋CD ＝11，所以BC ＝11＋3＝14. 综上所述，BC 的长为2或14.3．解：(1)因为M ，N 分别是AC ，BC 的中点，- 4 -所以MC ＝12AC ＝12×8＝4(cm )，NC ＝12BC ＝12×6＝3(cm )，所以MN ＝MC ＋NC ＝4＋3＝7(cm )． (2)MN ＝12a cm .理由如下：因为M ，N 分别是AC ，BC 的中点， 所以MC ＝12AC ，NC ＝12BC ，所以MN ＝MC ＋NC ＝12AC ＋12BC ＝12AB ＝12a cm .(3)如图，因为M ，N 分别是AC ，BC 的中点， 所以MC ＝12AC ，NC ＝12BC ，所以MN ＝MC －NC ＝12AC －12BC ＝12(AC －BC)＝12b cm .思维特训(十七) 线段上的动点问题方法点津·所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类问题．解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题．解题时要注意动点的起始位置和终止位置、运动方向，有时还要关注动点的运动速度，注意在运动过程中寻找等量关系．线段上的动点问题一般有两种类型：(1)动点无速度型，主要利用两点间的距离、线段的和差关系、线段中点的性质，结合方程求解；(2)动点有速度型，主要利用路程＝时间×速度，结合线段有关的知识，通过方程来求解．典题精练·类型一动点无速度型1．如图17－S－1所示，A，B，C是一条公路边的三个村庄，A，B间的距离为100 km，A，C间的距离为40 km，现要在A，B之间设一个车站P，设P，C间的距离为x km.(1)用含x的式子表示车站到三个村庄的距离之和；(2)若车站到三个村庄的距离之和为105 km，则车站应设在何处？(3)若要使车站到三个村庄的距离之和最小，则车站应设在何处？图17－S－1- 5 -- 6 -2．如图17－S －2，某公司有三个住宅小区A ，B ，C ，A ，B ，C 各小区分别住有职工30人、15人、10人，且这三个小区在一条大道上(即A ，B ，C 三点共线)，已知AB ＝100米，BC ＝200米，为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在某小区设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应该设在哪个小区？图17－S －23．已知数轴上A ，B 两点对应的数分别为a 和b ，且a ，b 满足等式(a ＋9)2＋|7－b|＝0，P 为数轴上一动点，对应的数为x.(1)求线段AB 的长．(2)数轴上是否存在点P ，使PA ＝3PB ？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由． (3)在(2)的条件下，若M ，N 分别是线段AB ，PB 的中点，试求线段MN 的长．类型二 动点有速度型4．如图17－S －3，P 是线段AB 上任意一点，AB ＝12 cm ，C ，D 两点分别从点P ，B 开始，同时向点A 运动，且点C 的运动速度为2 cm /s ，点D 的运动速度为3 cm /s ，运动的时间为t s .(1)若AP ＝8 cm .①求运动1 s 后，CD 的长；②当点D 在线段PB 上运动时，试说明AC ＝2CD. (2)如果t ＝2，CD ＝1 cm ，试探索AP 的长．- 7 -图17－S －35．如图17－S －4，B 是线段AD 上一动点，沿A →D 以2 cm /s 的速度运动，C 是线段BD 的中点，AD ＝10 cm ，设点B 运动的时间为t s .(1)当t ＝2时， ①AB ＝________ cm ； ②求线段CD 的长．(2)在运动过程中，若AB 的中点为E ，则EC 的长是否变化？若不变，求出EC 的长；若发生变化，请说明理由．图17－S －46．如图17－S －5甲，O 是线段AB 上一点，C ，D 两点分别从O ，B 同时出发，以2 cm /s ，4 cm /s 的速度在直线AB 上运动，点C 在O ，A 之间，点D 在O ，B 之间．(1)设C ，D 两点同时沿直线AB 向左运动t s 时，AC ∶OD ＝1∶2，求OAOB 的值；(2)在(1)的条件下，若C ，D 两点运动52s 后都停止运动，此时恰有OD －AC ＝12BD ，求CD 的长；(3)在(2)的条件下，将线段CD 在线段AB 上左右滑动如图17－S －5乙(点C 在O ，A 之间，点D 在O ，B 之间)，若M ，N 分别为AC ，BD 的中点，试说明线段MN 的长度始终不发生变化．- 8 -图17－S －5详解详析1．解：(1)如图①，当点P 在线段BC 上时，车站到三个村庄的距离之和为PA ＋PB ＋PC ＝40＋x＋100－(40＋x)＋x ＝(100＋x)km ； 如图②，当点P 在线段AC 上时，车站到三个村庄的距离之和为PA ＋PC ＋PB ＝40－x ＋x ＋60＋x ＝(100＋x)km .综上所述，车站到三个村庄的距离之和为(100＋x)km . (2)由(1)得100＋x ＝105，解得x ＝5. 答：车站设在C 村左侧或右侧5 km 处． (3)当x ＝0时，x ＋100＝100，此值最小． 答：车站设在C 村时到三个村庄的距离之和最小．2．解：以A 小区为停靠点，则所有人的路程之和为15×100＋10×300＝4500(米)， 以B 小区为停靠点，则所有人的路程之和为30×100＋10×200＝5000(米)， 以C 小区为停靠点，则所有人的路程之和为30×300＋15×200＝12000(米)．- 9 -因为4500<5000<12000，所以该停靠点的位置应设在A 小区． 3．解：(1)由(a ＋9)2＋|7－b|＝0，得 a ＋9＝0，7－b ＝0.解得a ＝－9，b ＝7. 所以线段AB 的长为b －a ＝7－(－9)＝16. (2)当点P 在线段AB 上时，PA ＋PB ＝AB ， 即3PB ＋PB ＝AB ＝16， PB ＝4，此时7－x ＝4，解得x ＝3； 当点P 在线段AB 的延长线上时， PA －PB ＝AB ，即3PB －PB ＝AB ＝16，PB ＝8， 此时x ＝7＋8＝15.综上所述，x 的值为3或15. (3)当点P 在线段AB 上时，由M ，N 分别是线段AB ，PB 的中点，得 MB ＝12AB ＝8，NB ＝12PB ＝2.由线段的和差，得MN ＝MB －NB ＝8－2＝6； 当点P 在线段AB 的延长线上时， 由M ，N 分别是线段AB ，PB 的中点，得 MB ＝12AB ＝8，NB ＝12PB ＝4.由线段的和差，得MN ＝MB ＋NB ＝8＋4＝12.综上所述，MN的长为6或12.4．解：(1)①由题意可知：CP＝2×1＝2(cm)，DB＝3×1＝3(cm)，因为AP＝8 cm，AB ＝12 cm，所以PB＝AB－AP＝4 cm，所以CD＝CP＋PB－DB＝2＋4－3＝3(cm)．②因为AP＝8 cm，AB＝12 cm，所以PB＝4 cm，AC＝(8－2t)cm，所以DP＝(4－3t)cm，所以CD＝CP＋DP＝2t＋4－3t＝(4－t)cm，所以AC＝2CD.(2)当t＝2时，CP＝2×2＝4(cm)，DB＝3×2＝6(cm)．当点D在点C的右边时，如图①所示：因为CD＝1 cm，所以CB＝CD＋DB＝7 cm，所以AC＝AB－CB＝5 cm，所以AP＝AC＋CP＝9 cm；当点D在点C的左边时，如图②所示：因为AD＝AB－DB＝6 cm，所以AP＝AD＋CD＋CP＝11 cm.综上所述，AP＝9 cm或11 cm.5．解：(1)①因为B是线段AD上一动点，沿A→D以2 cm/s的速度运动，所以当t＝2时，AB＝2×2＝4(cm)．- 10 -- 11 -②因为AD ＝10 cm ，AB ＝4 cm ，所以BD ＝10－4＝6(cm )．因为C 是线段BD 的中点，所以CD ＝12BD ＝12×6＝3(cm )． (2)不变．因为AB 的中点为E ，C 是线段BD 的中点，所以EB ＝12AB ，BC ＝12BD ， 所以EC ＝EB ＋BC ＝12(AB ＋BD)＝12AD ＝12×10＝5(cm )． 6．解：(1)设AC ＝x cm ，则OD ＝2x cm ，又因为OC ＝2t cm ，BD ＝4t cm ，所以OA ＝(x ＋2t)cm ，OB ＝(2x ＋4t)cm ，所以OA OB ＝12. (2)设AC ＝x cm ，则OD ＝2x cm ，又OC ＝2×52＝5(cm )，BD ＝4×52＝10(cm )，由OD －AC ＝12BD ，得2x －x ＝12×10， 解得x ＝5，所以OD ＝2×5＝10(cm )，所以CD ＝OD ＋OC ＝10＋5＝15(cm )．(3)在(2)中有AC ＝5 cm ，BD ＝10 cm ，CD ＝15 cm ，所以AB ＝AC ＋BD ＋CD ＝30 cm .设AM ＝CM ＝m cm ，BN ＝DN ＝y cm ，因为2m ＋15＋2y ＝30，所以m ＋y ＝7.5，所以MN ＝CM ＋CD ＋DN ＝m ＋15＋y ＝22.5(cm )．即线段MN 的长度始终是22.5 cm .思维特训(十八) 钟表问题方法点津·1．钟表上的夹角：钟表上共有12个大格，每个大格对应的角为30°，共有60个小格，每个小格对应的角为6°.2．时针与分针转动的度数关系：时针每小时转30°，时针每分钟转0.5°；分针每小时转360°，分针每分钟转6°；时针旋转30°时，分针旋转360°，故时针旋转1°时，分针旋转12°.3．以上述两点为基础，利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．通过两个角的和差，可解决有关钟表的问题．典题精练·类型一由时间求时针与分针的夹角1．如图18－S－1，8点整，时针与分针的夹角是()图18－S－1A．60°B．80°C．120°D．150°2．时钟显示为8：30时，时针与分针所夹的角是()A．90°B．120°C．75°D．84°3．当时钟显示上午10：10时，时针与分针的夹角是()A．115°B．120°C．105°D．90°4．在下午3：22时，时针和分针的夹角是多少度？- 12 -- 13 -5．某火车站的钟楼上装有一电子报时钟，在钟面的边界上每一分钟的刻度处都装有一只小彩灯，晚上九点三十五分二十秒时，时针与分针所夹的角α内装有多少只小彩灯？类型二 由时针与分针的夹角求时间6．7点与8点之间，分针与时针重合的时刻是( )A ．7点41811分B ．7点41911分 C ．7点42011分 D ．7点42111分 7．某人早晨8点多吃早饭，发现钟面上的分针与时针的夹角为25°，等他吃完早饭后发现钟面上的时间还是8点多，两针的夹角还是25°，则他吃早饭用了多长时间？8．钟面上的角的问题．(1)3点45分时，时针与分针的夹角是多少？(2)在9点与10点之间，什么时候时针与分针成100°的角？9．钟面上从2点到4点有几次时针与分针的夹角为60°？分别是几点几分？- 14 -- 15 -详解详析1．C[解析] 钟表上一个大格为30°，8点时针与分针之间有4个大格，夹角是30°×4＝120°.2．C[解析] 8点30分时，钟面上时针指向数字8与9的正中间，分针指向数字6，所以时针与分针所成的角为2×30°＋12×30°＝75°. 3．A[解析] 时针每分钟转0.5°，10分钟时针旋转0.5°×10＝5°，这时时针与分针的夹角为30°×4－5°＝115°.4．解：时针旋转的速度是每分钟0.5°，从中午12时到下午3时22分时针旋转的度数是202×0.5°＝101°，分针旋转的速度是每分钟6°，22分钟旋转的度数是22×6°＝132°，故下午3：22时时钟的时针和分针的夹角是132°－101°＝31°.5．解：晚上九点三十五分二十秒时，时针与分针所夹的角为9×30°＋35×0.5°＋20×0.5°÷60－(35×6°＋20×6°÷60)＝(7523)°，7523÷6≈12.6. 故时针与分针所夹的角α内装有12只小彩灯．6．C[解析] 时针每小时转动30°，每分钟转动0.5°，分针每分钟转动6°.设经过x 分钟分针与时针重合，则有6x －0.5x ＝210，解得x ＝42011. 即7点与8点之间，分针与时针重合的时刻是7点42011分． 7．解：如图所示：- 16 -设这个人吃早饭用了x 分钟，则(6x)°＝25°＋(0.5x)°＋25°，解得x ＝9111，即这个人吃早饭用了9111分钟． 8．解：(1)因为由3点到3点45分，分针转了270°，时针转了45×0.5°＝22.5°，所以时针与分针的夹角是270°－90°－22.5°＝157.5°.(2)设分针转的度数为x ，则时针转的度数为112x ，则有如图①②两种情况： ①90°＋x －112x ＝100°，解得x ＝(12011)°，12011÷6＝2011(分)；②90°＋112x －(x －180°)＝100°， 解得x ＝(204011)°，204011÷6＝34011(分)．综上所述，9时2011分和9时34011分时时针与分针成100°的角．9．解：第一次正好为2点整；第二次设为2点x 分时，时针与分针的夹角为60°，则5.5x ＝60×2，解得x ＝21911(分)； 第三次设为3点y 分时，时针与分针的夹角为60°，则5.5y ＝90－60，解得y ＝5511(分)；第四次设为3点z分时，时针与分针的夹角为60°，则5.5z＝90＋60，解得z＝27311(分)．故钟面上从2点到4点有四次时针与分针的夹角为60°，分别是2点整、2点21911分、3点5511分、3点27311分．- 17 -。