思维特训(二十一)角的运动问题方法点津·角的运动主要包括角的旋转、折叠以及三角尺的旋转．解决策略：在某一时刻，利用角的位置(大小)，建立方程求解，或借助整体思想、分类讨论思想、数形结合思想进行探究与求解．典题精练·类型一角的折叠1．(1)如图21－S－1①，OC是∠AOB内的一条射线．将OB，OA向∠AOB内部翻折，使射线OA，OB都与射线OC重合，折痕分别为OE，OF，∠EOF＝25°，求∠AOB的度数；(2)如图②，∠MON＝20°，OC是∠MON内部的一条射线，第一次操作分为两个步骤：第一步：将OC沿OM 向∠MON外部翻折，得到OM1，第二步：将OC沿ON向∠MON外部翻折，得到ON1；第二次操作也分为两个步骤：第一步：将OC沿OM1向∠MON外部翻折，得到OM2；第二步：将OC沿ON1向∠MON外部翻折，得到ON2；…依此类推，在第________次操作的第________步恰好第一次形成一个周角，并求∠MOC的度数．图21－S－1类型二射线的旋转2．如图21－S－2，已知∠AOB＝90°，射线OC绕点O从OA位置开始，以每秒4°的速度按顺时针方向旋转；同时，射线OD绕点O从OB位置开始，以每秒1°的速度按逆时针方向旋转．当OC与OA成180°角时，OC与OD同时停止旋转．(1)当OC旋转10秒时，∠COD＝________°；(2)当OC与OD的夹角是30°时，求旋转的时间；(3)当OB平分∠COD时，求旋转的时间．图21－S－23．如图21－S－3，已知∠AOB＝20°，∠AOE＝100°，OB平分∠AOC，OD平分∠AOE.(1)求∠COD的度数；(2)若以O为观察中心，OA为正东方向，则射线OD的方向角是____________；(3)若∠AOE的两边OA，OE分别以每秒5°、每秒3°的速度，同时绕点O逆时针方向旋转，当OA回到原处时，OA，OE停止运动，则经过几秒，∠AOE＝42°？图21－S－3类型三角的旋转4．如图21－S－4①，射线OC，OD在∠AOB的内部，且∠AOB＝150°，∠COD＝30°，射线OM，ON分别平分∠AOD，∠BOC.(1)求∠MON的度数；(2)如图②，若∠AOC＝15°，将∠COD绕点O以每秒x°的速度逆时针旋转10秒，此时∠AOM＝711∠BON，如图③所示，求x的值．图21－S－4类型四三角尺的旋转5．将一副三角尺如图21－S－5①所示摆放在直线AD上(三角尺OBC和三角尺MON，∠OBC＝90°，∠BOC ＝45°，∠MON＝90°，∠MNO＝30°)，保持三角尺OBC不动，将三角尺MON绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒．(1)当t＝________时，OM平分∠AOC，如图②，此时∠NOC－∠AOM＝________；(2)继续旋转三角尺MON，如图③，使得OM，ON同时在直线OC的右侧，猜想∠NOC与∠AOM有怎样的数量关系，并说明理由；(3)若在三角尺MON开始旋转的同时，另一个三角尺OBC也绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当OM旋转至射线OD上时同时停止(自行画图分析)．①当t＝________时，OM平分∠AOC?②请直接写出在旋转过程中，∠NOC与∠AOM的数量关系．图21－S－56．O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝65°，将一块三角尺的直角顶点放在点O处．(1)如图21－S－6①，将三角尺MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC＝________；(2)如图②，将三角尺MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的平分线，求∠BON和∠CON 的度数；(3)将三角尺MON绕点O逆时针旋转至图③的位置时，∠NOC＝∠AOM，求∠NOB的度数．图21－S－6详解详析1．解：(1)因为将OB，OA向∠AOB内部翻折，使射线OA，OB都与射线OC重合，折痕分别为OE，OF，∠EOF＝25°，所以∠AOB＝2∠COE＋2∠COF＝2(∠EOC＋∠COF)＝50°.(2)在第五次操作的第一步恰好第一次形成一个周角．设∠MOC＝x°，则16×20°＋16x°＝360°，解得x＝2.5，所以∠MOC＝2.5°.2．解：(1)因为射线OC绕点O从OA位置开始，以每秒4°的速度按顺时针方向旋转，射线OD绕点O从OB 位置开始，以每秒1°的速度按逆时针方向旋转，所以当OC旋转10秒时，∠COD＝90°－4°×10－1°×10＝40°，故答案为：40.(2)设旋转t秒时，OC与OD的夹角是30°.如图①，则4t＋t＝90－30，解得t＝12；如图②，则4t ＋t ＝90＋30，解得t ＝24. 综上所述，旋转的时间是12秒或24秒．(3)如图③，设旋转m 秒时，OB 平分∠COD ， 则4m －90＝m ，解得m ＝30， 故旋转的时间是30秒．3．解：(1)因为∠AOB ＝20°，∠AOE ＝100°， 所以∠EOB ＝∠AOE －∠AOB ＝80°. 又因为OB 平分∠AOC ，OD 平分∠AOE ， 所以∠AOC ＝2∠AOB ＝40°， ∠AOD ＝12∠AOE ＝50°，所以∠COD ＝∠AOD －∠AOC ＝50°－40°＝10°. (2)由(1)知∠AOD ＝50°，所以射线OD 的方向角为北偏东40°. (3)设经过x 秒，∠AOE ＝42°，则 3x －5x ＋100＝42或5x －(3x ＋100)＝42， 解得x ＝29或x ＝71.即经过29秒或71秒，∠AOE ＝42°.4．解：(1)因为∠AOB ＝150°，∠COD ＝30°，OM ，ON 分别平分∠AOD ，∠BOC ， 所以∠MON ＝∠MOD ＋∠NOC －∠COD ＝12(∠AOD ＋∠BOC)－∠COD ＝12(∠AOB ＋∠COD)－∠COD ＝60°. (2)由题意，得∠BOD ＝105°－10x°，∠AOC ＝15°＋10x°， 所以∠BOC ＝135°－10x°，∠AOD ＝45°＋10x°.又因为∠AOM ＝711∠BON ，且OM ，ON 分别平分∠AOD ，∠BOC ，所以∠AOD ＝711∠BOC ，即45°＋10x°＝711(135°－10x°)，解得x ＝2.5.5．解：(1)因为∠AOC ＝45°，OM 平分∠AOC ， 所以∠AOM ＝12∠AOC ＝22.5°，所以t ＝2.25.因为∠MON ＝90°，∠MOC ＝22.5°，所以∠NOC －∠AOM ＝∠MON －∠MOC －∠AOM ＝45°.故答案为2.25，45°. (2)∠NOC －∠AOM ＝45°. 理由：因为∠AON ＝90°＋(10t)°，所以∠NOC ＝90°＋(10t)°－45°＝45°＋(10t)°. 因为∠AOM ＝(10t)°，所以∠NOC －∠AOM ＝45°. (3)①如图，因为∠AOB ＝(5t)°， 所以∠AOC ＝45°＋(5t)°. 因为OM 平分∠AOC ，所以∠AOM ＝12∠AOC ，而∠AOM ＝(10t)°， 所以10t ＝12(45＋5t)，解得t ＝3.②∠NOC －12∠AOM ＝45°.理由：因为∠AOB ＝(5t)°，∠AOM ＝(10t)°， ∠MON ＝90°，∠BOC ＝45°，所以∠AON ＝90°＋∠AOM ＝90°＋(10t)°， ∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ＝45°＋(5t)°，所以∠NOC ＝∠AON －∠AOC ＝90°＋(10t)°－45°－(5t)°＝(5t)°＋45°， 所以∠NOC －错误!∠AOM ＝45°.6．解：(1)因为∠MON ＝90°，∠BOC ＝65°， 所以∠MOC ＝∠MON －∠BOC ＝90°－65°＝25°. (2)因为∠BOC ＝65°，OC 是∠MOB 的平分线， 所以∠MOB ＝2∠BOC ＝130°.所以∠BON ＝∠MOB －∠MON ＝130°－90°＝40°. 所以∠CON ＝∠BOC －∠BON ＝65°－40°＝25°. (3)因为∠BOC ＝65°，所以∠AOC ＝∠AOB －∠BOC ＝180°－65°＝115°. 因为∠MON ＝90°，所以∠AOM ＋∠NOC ＝∠AOC －∠MON ＝115°－90°＝25°.又因为∠NOC＝∠AOM，所以2∠NOC＝25°.所以∠NOC＝12.5°.所以∠NOB＝∠NOC＋∠BOC＝77.5°.。