=(ac-bd)+(bc+ad)i 显然任意两个复数的积仍是一个复数.
复数的乘法运算法则：对于任意z1,z2,z3 ∈ C,有
z1∙z2= z2∙z1 , z1∙z2 ∙z3= z1∙(z2 ∙z3) , z1∙(z2 +z3)= z1∙z2 +z1∙z3 .
交换率 结合率 分配率
共轭复数
对于任意复数z=a+bi ,有 （a+bi)(a-bi)=a2+b2
Z－ Z = 2bi
2.共轭复数的性质
(1) z1 z2 z1 z2
(2) z1 z2 z1 z2
(3) z1 z2 z1 z2
(4)
z1 z2
z1 z2
(5)z z R, z z R; (6)z z; (7)zn (z)n(n 2).
证明: Z 1+Z2 = Z1+Z2 ，Z1-Z=2 Z-1 Z2
33 22
ii
)
(
3 i)2 2
12(231i
1 4
3
i2)3(i 143
3 i) ( 1)2 (
3 i)2
0; 2 2
22
22
1 3 1
44
在复数集中, 方程x3 1的三个解为:1, , .
练习: 计算
(1) ( 1 3 i)6;
(1)1;
22
(2) ( 1 3 i)11. 22
(2) 1 3 i. 22
(3) 若x 1 1,求1 x x2 x2012的值. x
(3)0
(1) 2 ; (3) 1 2 0;
(2) 1(1 0) (4) 3 1
例题选讲
例１ 计算 (1-2i) (3+4i) (-2+i) 解：(1-2i) (3+4i) (-2+i)
=（11-2i)(-2+i)
（c+di)(x+yi)=a+bi (c+di≠0)
的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商，
记作
a bi
（a+bi）÷ （c+di) 或
c di
a c
bi di
(a (c
bi)(c di)(c
di) di)
ac bd (bc ad )i c2 d2
ac c2
bd d2
1 zn
(z m )n= z mn
z m ·z n= z m+n
(z1 ·z2 )n= z1 n ·z2 n 一般地，如n∈N*，有
i4n=1
i4n+1=i i4n+2= -1 i4n+3= -i
若a, b, c, d是连续的正整数, 有 ia ib ic id 0
复数的除法
复数的除法是乘法运算的逆运算，即把满足
特别地，a+bi=0 a=b=0 .
即 两个复数（除实数外）只能说相等或不相等， 而不能比较大小.
一.复数的加法与减法
1.复数加法的运算法则
(a+bi ) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
很明显，两个复数的和仍然是一个复数
2. 加法的运算律
1. z1 z2 z2 z1(交换率); 2. (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 )(结合率)
证明：设Z=1 a1+b1i， Z2= a2+b2i (a1 , a2 , b1 , b2) ∈R ，则
Z1+Z2 = (a1+b1i )+ (a2+b2i ) = (a1+a2) + (b1+b2 )i = (a1+a2)－( b1+b2 )i = (a1－b1i)+( a2－b2 i) =Z1+ Z2
同理可证： Z1-=Z2 －Z1 Z2
例4：设 1 3 i , 求证：
22
(1) 2 ;
(2) 1(1 0)
(3) 1 2 0; (4) 3 1
证明：(4（) 113）(
1 2
2
13i()3 2
1 2
3 i) ( 1
2
2
3 i)2 2
12(2312i (2312i))22(21212
复数的四则运算
(一)
复数a+bi(a,b∈R)
R(z)= a—实部 I(z)= b—虚部
复数 a+bi
实数a (b=0) 纯虚数bi(a=0)
虚数 (b‡0) 非纯虚数a+bi(ab‡0)
两个复数相等
设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)，
a c
则 z1=z2 b d ， 即实部等于实部，虚部等于虚部
其中Z =a + bi 与a – bi 叫共轭复数.
如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数 时，这两个复数叫做互为共轭复数。（当虚部 不等于0时也叫做互为共轭虚数） 思考：复数Z 为实数的充要条件是 Z = Z
即 实数的共轭复数仍是其本身.
共轭复数
1.设Z =a+bi (a,b∈R )
Z + Z = 2a
例题选讲
1 i i
5.计算： ①
1 1
i i
①
i
②
1i 1 i
②
-
i
③ （1+2i)÷(3-4i);
(a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i
练习
例1、计算(2－3i )+(-8－3i) － (3－4i)
解： (2－3i )+(-8－3i) － (3－4i) = (2－8－3)+(-3－3+4)i = -9－2i .
二.复数的乘法法则：
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2
bc c2
ad d2
i
例题选讲
复数的乘法也可大胆运 用乘法公式来展开运算.
例3：计算 ① (1+i)2
② (1-i)2
2i
-2i
例4：设 1 3 ห้องสมุดไป่ตู้ , 求证：
22
(1) 2 ;
(2) 1(1 0)
(3)1 2 0; (4) 3 1
在复数集中, 方程x3 1的三个解为:1, , .
= -20+15i . 例2 在复数范围内因式分解
1. x4 16; 2. x2 2x 10; 3. a2 b2 c2 2ab; 4. a4 b4.
三.正整数指数幂的复数运算律
z 、 z1、 z2 ∈C，m、n ∈N*有
实数集R中正整数指数幂的运算律在复数
集C中仍成立，即
Z0 = 1;
z n
一.复数的加法与减法
类
2、复数减法的运算法则
比 多
复数减法规定是加法的逆运算
项
(a+bi )－(c+di) = x+yi ，
式 的
∴(c+di )+(x+yi) = a+bi ，
合 并
由复数相等定义，有 c+x=a ， d+y=b
同 类
由此，x=a－c ， y=b－d
项
∴ (a+bi )－(c+di) = (a－c) + (b－d)i