o
f ( x, y)dxdy
D
f (r cos , r sin )rdrd
D
d 2( )
1( )
f (r cos ,
r sin ) r dr.
r 2( )
A
二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征如图
r ( )
D： ,
D
其中正号及负号分别由 t 从 变 到时，是对
应于 LD 的正向或是负方向所决定．由（6）及
（7）得到
D =
L
xu,
v
y u
du
y v
dv
= 令
Pu,
L
v
xu, v xu,
v
y du u
y
u
xu,v y dv
v
Qu, v xu,
v
y v
在平面 uv 上对上式应用格林公式，得到
D
vdv
1
sin
1.
20
2
二、利用极坐标系计算二重积分
面积元素
d r drd . 或 dxdy r drd .
f ( x, y)dxdy
D
f (r cos , r sin )rdrd .
D
r ri ri r ri
o
i i
i D
i A
二重积分化为二次积分的公式（１）
区域特征如图
x, y u, v
0，
= f xu,v, yu,v Ju,vdudv
D
定理21.13 设 f (x, y) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续，变换 T : x x(u, v), y y(u, v) 将 uov 平面上的闭区域 D 变为 xoy 平面上的 D， 且满足 (1) x(u, v), y(u, v) 在 D 上具有一阶连续偏导数； (2) 在 D 上雅可比式 J (u, v) (x, y) 0;
定理 21．13 设 f x, y在有界闭区域 D 上可积，
变换T ：x xu,v，y yu, v 将 uv 平面上由按段
光滑封闭曲线所围成的闭区域 一对一地映成 xy 平
面上的闭区域 D ，函数 x xu, v，y yu,v 在 内
分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式
J u, v =
则 x vu, y vu.
2
2
D D, 即 x 0 u v;
y 0 u v;
x y 2 v 2.
x y2
D
o
x
v
v2
u v D u v
o
u
J
(x, y) (u, v )
1 2 1
1
2 1
1, 2
22
故
y x
e y xdxdy
e
u v
1
dudv
D
D
2
1
2
阶连续偏导数且它们的函数行列式
J
(x, y) (u, v)
0 ， u,v
，
则区域的面积
D=
J
u, vdudv
证 现给出 y yu,v 在 内分别具有二阶连
续偏导数时的证明.
由于变换T 是一对一的，且 J u,v 0，因而T
把 的内点变为 D 的内点，所以 的按段
光滑边界曲线 L 变换到 D 时，其边界曲线 LD
2
dv
0
u v
e v du
1
v
2
2(e e1 )vdv
0
e e1.
例 2 求抛物线 y 2 mx ， y 2 nx 和直线 y x ，
y x 所围成区域 D 的面积 D 0 m n,0 ．
解 D 的面积 D = dxdy
作变换
x u , y uD
v2
v
J u,v =
也是按段光滑曲线，设曲线 L 的参数方程为
u = ut， v = vt t
由于 L 按段光滑，所以 ut ， vt 在, 上
至多除去有限个第一类间断点外，在其他点
上都是连续的．因为 LD T L ，所以 LD 的参
数方程为:
x xt xut,vt,
y t yut,vt, t
=
Q u
P v
dudv
由于函数 y yu,v具有二阶连续偏听偏信导数，即有
2 y 2 y
uv vu
因此
Q P u v
= J u,v
于是 D = Ju,vdudv
又因为 D总是非负的，而 J u,v在 上不为零且连
续，故其函数值 在上不变号，所以
D = J u, vdudv
u v4
=
D = dxdy =
nD u
dv du m v4
=
u v4
n
dudv
m2 3 6 3 3
3
例3
计算
I
D
cos(
x x
y )dxdy. y
其中
D由
x
y
1,
x 0 及 y 0 所围成．
y
解 令 u x y, v x y,
则 x uv, y vu.
§4 重积分的变量变换
一、 二重积分的变量变换公式 二、利用极坐标系计算二重积分
一 二重积分的变量变换公式
引理 设变换T ：x xu, v，y yu,v 将 uv
平面上由按段光滑封闭曲线所围成的闭区
域 ，一对一地映成 xy 平面上的闭区域 D ，
函数 x xu,v， y yu,v 在 内分别具有一
2
2
D D, 即 x 0 u v;
y 0 u v;
x y 1 v 1.
x y1
D
o
x
v
v 1
u v D u v
o
u
1
J
(x, y) (u, v )
2 1
2
1
2 1
1, 2
2
故 I cos u J dudv
D
v
1
1
dv
vu cos du
20
v
v
1
1
2sin
1
若规定 t 从 变 到时，对应于 LD 的正向，
则根据格林公式，取 Px, y 0,Qx, y x ，有
D = xdy xtytdt
LD
=
xut
,
vt
uy
u t
y v
vt
dt
（6）
另一方面，在uv 平面上
=
L
xu, v
xut,
y u
vt
du
y u
y v
dv
ut y
v
vt
dt
（7）
(u, v) (3) 变换 T : D D 是一对一的，则有
f (x, y)dxdy f [x(u,v), y(u,v)] J (u,v) dudv.
D
D
y x
例1 计算 e yxdxdy, 其中 D 由 x 轴、y轴和直
D
线 x y 2 所围成的闭区域．y
解 令 u y x, v y x,
r 1( )
,
D：
1( ) r 2( ).
f ( x, y)dxdy
D
D
o
f (r cos , r sin )rdrd
D
d 2( )
1( )
f (r cos ,
r sin ) r
dr.
r 2( )
A
区域特征如图
,
D：
1( ) r 2( ).
r 1( ) DD