(3)在变换下确定u,v的范围△;
把变换代入D的边界曲线中，求出的边界曲线
作图 (4)代入变换替换公式，化为关于u,v的二重积分; (5)用§2求二重积分的方法求出其值。 题型一：引入变量替换后，化为累次积分 例1：P242习题3（2）
原式 f (u cos4 v, u sin 4 v)4u sin 3 v cos3 vdudv . : 0 u a ,0 v 2
2 2
dx .
2
D1
x2 y2
e
D1
x y
dxdy e
S
x y
2
dxdy e
D2
dxdy
a 1 1 a 2 2a 2 x2 2 (1 e ) ( e dx) (1 e ) 0 4 4
题型二：作适当的变量替换，计算二重积分
例2
y
1
D
x y 1
u v
v v 1

o
uv
o
1 x
u
例3
y
O
x
二、用极坐标计算二重积分
1.变换
变换T : x r cos , y r sin
O y r
.P(x,y)
x

其中r为极径，为OP与x轴正向的夹角 0 r ,0 2
r 1 ( )
r 2 ( )
,
1 ( ) r 2 ( ).
D

o

D
f ( r cos , r sin )rdrd
d
2 ( ) 1 ( )

A
f ( r cos , r sin )rdr .
②二重积分化为二次积分的公式（２）
③二重积分化为二次积分的公式（３）
区域特征如图
0 2,
0 r ( ).
r ( )
D
o
A
f (r cos , r sin )rdrd
D
d
0
2
( )
0
f ( r cos , r sin )rdr .
极坐标系下区域的面积
D : 0 r 1, arcsin r

2
O
x
练习：P242习题1（1）
例 5 写出积分 f ( x , y )dxdy 的极坐标二次积分形
D
式，其中积分区域
D {( x , y ) | 1 x y 1 x 2 , 0 x 1}.
x2 y2 1
rdrd .
D
常见区域D'的确定
y
2
(3) D : x y R
2 2
(如图)
R O R x
r R
2
2
D : 0 2 , 0 r R
题型一：引入极坐标变量替换后，化为累次积分
例4：P242习题1（2）
D : 0

y
1
2
, 0 r sin
( x, y ) (2)求出J (u, v) (u, v)
若是设u u( x, y), v v( x, y),求J有两种办法
(i)先求出x x(u, v), y y(u, v)，再求J (u, v) 1 (ii )先求出 , 再求J＝ (u, v) ( x, y ) ( x, y )
f ( x, y)dxdy f [ x(u, v), y(u, v)] J (u, v) dudv.
D
x,y的范围
u,v的范围
要加绝对值
3.利用一般变量替换求二重积分 步骤： ⑴根据题目的特点(区域及被积函数)确定变换;
习惯上：设 x(u, v), y y(u, v) x
§4 二重积分的变量交换
教学内容：1.二重积分的变量替换公式 2.二重积分的一般变量变换 3.二重积分的极坐标变换 教学重点：二重积分的变量变换（主要为线性变换， （广义）极坐标变换） 教学难点：变量变换后积分限的确定
一、二重积分的变量交换公式
1.引理：
2.二重积分的变量替换公式：
定理21.13 设 f ( x, y ) 在 xoy 平面上的有界闭区域 D 上可积，变换T : x x(u , v), y y (u , v)将 uov 平面上由按段光滑封闭 曲线所围成的闭区域 一一 地映成 xoy 平面上的闭区域 D，且满足 (1) x(u , v), y (u , v) 在 上具有一阶连续偏导数 ； ( x, y ) (2) 在 上雅可比式 J (u , v) 0; (u , v) 则有
ri ri i ,
o
r ri ri
i i
i
D
r ri
i
A
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin ) r drd .
D D
————二重积分化为二次积分的公式
3.D'的确定 把极坐标代入边界得出D'的边界 ①二重积分化为二次积分的公式（１） 区域特征如图
2 2
r 2 2Rr cos D : , 0 r 2 R cos 2 2 (2) D : x y 2Ry (如图)
2 2
O
R
2R
x
y 2R
r 2Rr sin
2
R
O x
D : 0 , 0 r 2R sin
此时J (r, ) r
2.适用范围 (1)D为圆域或圆域的一部分；
(2)被积函数含 x y 形式。
2 2
3.变换公式
1 1 2 2 i ( ri ri ) i ri i 2 2 1 ( 2ri ri )ri i 2 ri ( ri ri ) ri i 2
x y 1
例6
例7Leabharlann D : 0 2 0 r R cos
,
例8
计算 e
D
x2 y2
dxdy ，其中 D 是由中心
a 在原点，半径为 的圆周所围成的闭区域.
e
D
x2 y2
dxdy (1 e
x2
a2
)
2
D2
S
例9
求广义积分 0 e
区域特征如图
r ( )
,
0 r ( ).
D

o

D
f ( r cos , r sin )rdrd
( )

A
d
0
f ( r cos , r sin )rdr .
常见区域D'的确定
y
(1) D : x y 2Rx (如图)