相似三角形的定义及其判定——典型题专项训练知识点 1 对相似三角形定义的理解1．下列说法中错误的是( )A．两个全等三角形一定相似B．两个直角三角形一定相似C．两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例D．相似的两个三角形不一定全等2．已知△ABC∽△A′B′C′，且BC∶B′C′＝AC∶A′C′，若AC＝3，A′C′＝4.5，则△A′B′C′与△ABC的相似比为( )A．1∶3 B．3∶2 C．3∶5 D．2∶33．2017·贵阳期末一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则该三角形的最短边是( )A．6 B．9 C．10 D．154．如图4－4－1，已知△ADE∽△ACB，且∠ADE＝∠C，则AD∶AC等于( )图4－4－1A．AE∶ACB．DE∶CBC．AE∶BCD．DE∶AB5．若△ABC∽△A′B′C′，AB＝2，BC＝3，A′B′＝1，则B′C′等于( )A．1.5 B．3 C．2 D．16．如图4－4－2所示，已知△ABC∽△ADE，AD＝6 cm，BD＝3 cm，BC＝9.9 cm，∠A ＝70°，∠B＝50°.求：(1)∠ADE的度数；(2)∠AED的度数；(3)DE的长．图4－4－2知识点 2 利用两角分别相等判定三角形相似7．如图4－4－3所示的三个三角形，相似的是( )图4－4－3A．(1)和(2) B．(2)和(3)C．(1)和(3) D．(1)和(2)和(3)8．教材习题4.5第3题变式题如图4－4－4，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则图中相似三角形有( )A．0对 B．1对 C．2对 D．3对图4－4－4图4－4－59．如图4－4－5，添加一个条件：__________(写出一个即可)，使△ADE∽△ACB.10．将两块大小一样的含30°角的直角三角板叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合(如图4－4－6)，AC与BD相交于点E.连接CD，请写出图中的一对相似三角形，并加以证明．图4－4－611．如图4－4－7，在▱ABCD中，E是AD延长线上一点，BE交AC于点F，交DC于点G，则下列结论中错误的是图4－4－7( )A．△ABE∽△DGEB．△CGB∽△DGEC．△BCF∽△EAFD．△ACD∽△GCF12．2016·贵阳期末如图4－4－8，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形的对数是( )A．1 B．2 C．3 D．44－4－84－4－913．如图4－4－9，已知P是Rt△ABC的斜边BC上任意一点，若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D，截得的小三角形与△ABC相似，则点D的位置最多有________处．14．如图4－4－10，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E.求证：△ABD∽△CBE.图4－4－1015．如图4－4－11，△PMN是等边三角形，∠APB＝120°，求证：AM·PB＝PN·AP.图4－4－1116．如图4－4－12，点D在等边三角形ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC 相交于点F.(1)求证：△ABD∽△DCF；(2)除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．图4－4－1217．如图4－4－13，在平面直角坐标系内，已知点A(0，6)，点B(8，0)．动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为t秒．(1)求直线AB的函数表达式；(2)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？并求出此时点P与点Q的坐标．图4－4－13相似三角形的判定——典型题专项训练知识点由三边成比例判定两三角形相似图4－4－231．教材习题4.7第2题变式题如图4－4－23，每个小正方形的边长均为1，则下列图形(每个小正方形的边长均为1)中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )图4－4－242．已知AB＝12 cm，AC＝15 cm，BC＝21 cm，A1B1＝16 cm，B1C1＝28 cm，当A1C1＝________ cm时，△ABC∽△A1B1C1.3．已知△ABC的三边长分别为AB＝6 cm，BC＝7.5 cm，AC＝9 cm，△DEF的三边长分别为DE＝4 cm，EF＝5 cm，DF＝6 cm.求证：∠A＝∠D.4．已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm，当△DEF 的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似( )A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cmC．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm图4－4－255．如图4－4－25，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，若以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是( ) A．(6，0) B．(6，3)C．(6，5) D．(4，2)6．如图4－4－26，在△ABC和△ADE中，ABAD＝BCDE＝ACAE，点B，D，E在一条直线上．求证：△ABD∽△ACE.图4－4－267．如图4－4－27，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：(1)求证：△ABC为直角三角形；(2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；(3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似(要求：不写作法与证明)．图4－4－271．B [解析] 因为每个小正方形的边长均为1，所以已知的三角形的各边长分别为2，2，10，B选项中的三角形三边长分别为1，2，5，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似．2．203．证明：∵ABDE＝64＝32，BCEF＝7.55＝32，ACDF＝96＝32，∴ABDE＝BCEF＝ACDF，∴△ABC∽△DEF，∴∠A＝∠D.4．C [解析] 设△DEF的另两边的长分别为x cm，y cm，若△DEF中为4 cm长的边的对应边为6 cm，则46＝x7.5＝y9，解得x＝5，y＝6；若△DEF中为4 cm长的边的对应边为7.5 cm，则47.5＝x6＝y9，解得x＝3.2，y＝4.8；若△DEF中为4 cm长的边的对应边为9 cm，则49＝x6＝y7.5，解得x＝83，y＝103.故选C.5．B6．证明：∵在△ABC和△ADE中，ABAD＝BCDE＝ACAE，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE.又∵ABAD＝ACAE，∴ABAC＝ADAE，∴△ABD∽△ACE.7．解：(1)证明：∵AB2＝20，AC2＝5，BC2＝25，∴AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°.(2)△ABC和△DEF相似．理由：由(1)中数据得AB＝2 5，AC＝5，BC＝5. 由题意易知DE＝4 2，DF＝2 2，EF＝210，∴ABDE＝ACDF＝BCEF＝10)4，∴△ABC∽△DEF.(3)如图，连接P2P5，P2P4，P4P5.∵P2P5＝10，P2P4＝2，P4P5＝2 2，AB＝2 5，AC＝5，BC＝5，∴P2P5BC＝P4P5AB＝P2P4AC＝10)5，∴△ABC∽△P4P5P2.详解1．B 2.B3．B [解析] 设与它相似的三角形的最短边的长为x，∵一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，∴x3＝217，解得x＝9.故选B.4．B [解析] 根据相似三角形的定义可知，△ADE∽△ACB，且∠ADE和∠C是对应角，因此AD，AC与DE，CB对应成比例．5．A [解析] ∵△ABC∽△A′B′C′，∴ABA′B′＝BCB′C′，即21＝3B′C′，解得B′C′＝1.5.故选A.6．解：(1)∵△ABC∽△ADE，∴∠ADE＝∠B＝50°.(2)在△ADE中，∠A＋∠ADE＋∠AED＝180°，∴∠AED＝180°－70°－50°＝60°.(3)∵△ADE∽△ABC，∴ADAB＝DEBC，即66＋3＝DE9.9，∴DE＝6.6(cm)．7．A8．D [解析] ∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.∵∠CAD＝∠BAC，∴Rt△ACD∽Rt△ABC.∵∠DBC＝∠CBA，∴Rt△ABC∽Rt△CBD，∴Rt△CBD∽Rt△ACD.共有3对．故选D.9．∠ADE＝∠C(答案不唯一)10．解：答案不唯一，如△ADE∽△BDA.证明：∵∠CAB＝30°，∠BAD＝60°，∴∠DAE＝30°＝∠DBA.又∵∠ADE＝∠BDA＝90°，∴△ADE∽△BDA.11．D [解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EDG＝∠EAB.又∵∠E＝∠E，∴△ABE∽△DGE；∵AE∥BC，∴∠EDG＝∠BCG，∠E＝∠CBG，∴△CGB∽△DGE；∵AE∥BC，∴∠E＝∠FBC，∠EAF＝∠BCF，∴△BCF∽△EAF.第四个无法证得．故选D.12．C [解析] ∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠ABC＝∠ADE，∠AED＝∠ACB，∠CEF＝∠CAB，∠CFE＝∠CBA，∴△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，∴△ADE∽△EFC.∴图中相似三角形的对数是：3.故选C.13．3 [解析] ∵截得的小三角形与△ABC相似，∴过点P作AC的垂线，作AB的垂线，作BC的垂线，所截得的三角形均满足题意，则点D的位置最多有3处．14．证明：∵在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE.15．证明：∵△PMN是等边三角形，∴∠PMN＝60°，PN＝MP，∴∠AMP＝180°－∠PMN＝120°＝∠APB.又∵∠A＝∠A，∴△AMP∽△APB，∴AMAP＝MPPB，∴AM·PB＝MP·AP，∴AM·PB＝PN·AP.16．解：(1)证明：∵△ABC，△ADE均为等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠ADE＝60°，∴∠ADB＋∠FDC＝∠DFC＋∠FDC，∴∠ADB＝∠DFC.∴△ABD∽△DCF.(2)∵∠C＝∠E，∠AFE＝∠DFC，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△AEF.∵△ABC与△ADE均为等边三角形，∴△ABC∽△ADE.∵∠ADC＝∠ADF＋∠CDF＝∠C＋∠CDF＝∠AFD，又∠DAF＝∠CAD,∴△ADF∽△ACD.故除了△ABD∽△DCF外，图中的相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF，△ABC∽△ADE，△ADF∽△ACD.17．解：(1)直线AB的函数表达式为y＝－34x＋6.(2)在Rt△AOB中，由勾股定理得AB＝10.由题意，知AP＝t，AQ＝10－2t.可分两种情况讨论：①当∠APQ＝∠AOB时，有△APQ∽△AOB，得APAO＝AQAB，解得t＝3011，此时，P\a\vs4\al\co1(0，\f(3611))，Q\a\vs4\al\co1(\f(403611).②当∠AQP＝∠AOB时，有△APQ∽△ABO，得APAB＝AQAO，解得t＝5013，此时，P\a\vs4\al\co1(0，\f(2813))，Q\a\vs4\al\co1(\f(246013).。