武汉大学２０１４年线性代数真题解答
一．由
1200
1300
0002
0010
A
⎛⎫
⎪
⎪
=
⎪
⎪
-
⎝⎭
，且1
1
[()*]
612
2
A BA A
B E
-=+，求B. 二．计算
011
12
121
1
n
n
n
n n n
s s s
s s s x
D
s s s x
-
+-
=，其中
12
k k k
k n
s x x x
=++.
三．有121,,,,s s αααα+，且1,1,,i i i s t i s βαα+=+=，证明如果12,,,s βββ线性无关，
则121,,
,s ααα+必定线性无关.
四．线性空间V 定义的第(3),(4)条公理，即
(3)任意的V α∈，存在0V ∈，使00ααα+=+=； (4)任意的V α∈，存在V β∈，使0αββα+=+=.
证明他们的等价条件为：任意的,V αβ∈，存在x V ∈，使x αβ+=.
五．设()n sl F 是()M F 上,A B 矩阵满足AB BA -生成的子空间，证明
2dim(())1n sl F n =-
.
六．设数域K 上的n 维线性V 到m 维线性上的所有线性映射组成空间(,')k Hom V V ，证明(1)(,')k Hom V V 是线性空间； (2)(,')k Hom V V 的维数为mn ．
七．已知0132101010
101n n n c c F c c c ----⎛⎫
⎪- ⎪
⎪=
⎪-
⎪ ⎪
- ⎪
⎪-⎝⎭
， （１）求F 的的特征多项式()f x 与最小的项式()m x ； （２）求所有与F 可交换的矩阵．
八．设ϕ是复数域上的线性变换，ε为恒等变换，0λ为ϕ的一个特征值，0λ在ϕ的最小多项式中的重数1
000min{|ker()ker()
}k
k k
m k N λεϕλεϕ+
+=∈-=-．
九．设(,)f αβ为V 上的非退化双线性函数，对()*g x V ∀∈，存在唯一的V α∈，使得
(,)(),f g V αβββ=∀∈．
十．设ϕ是欧式空间V 上的正交变换，且,1m
m ϕε=>，记{|()}W x V x x ϕϕ=∈=，
W ϕ⊥为其正交补，对任意的V α∈，若有,,W W ϕϕαβγβγ⊥
=+∈∈其中，证明
1
1
1=()m i i m βϕα-=∑.。