武汉大学2004年攻读硕士学位研究生入学考试试题科目：高等代数 科目代码：804一、设A 为3阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，1det 2A =，求11det(()10*)3A A --.（10分） 二、计算n 阶行列式1212121200nnn n n a a a a a a a a D a a a a ++++=++，其中0,1,2,,j a j n ≠=.（10分）三、设A 为m n ⨯矩阵，A 的秩()R A Y =，证明存在m Y ⨯矩阵B 和Y n ⨯矩阵C 且()()R B R C Y ==，使A BC =.（10分）四、已知322,22A E B A A E ==-+，证明B 可逆，并求出其逆.（15分） 五、A 为n 阶矩阵，*A 为其A 的伴随矩阵，证明：1det *(det )n A A -=.（20分） 六、设,A B 都是n 阶正定矩阵，证明：（1） AB 的特征值全大于零；（10分）（2） 若AB BA =，则AB 是正定矩阵.（5分）七、求矩阵1111m nA ⨯⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭（即A 中的每个元素都为1）的最小多项式.（15分） 八、设V 是复数域上的n 维线性空间，,f g 是V 的线性变换，且fg gf =，证明：（1）如果λ是f 的特征值，那么V λ（λ的特征子空间）是g 的不变子空间；（8分） （2）,f g 至少有一个公共的特征向量.（7分）九、设A 为n 阶方阵，证明：如果()()R A R A E n +-=，则A 可对角化.（20分）十、 设,A B 是数域K 上的m n ⨯矩阵，且()()R A R B =（()R A 是矩阵A 的秩）。

设齐次线性方程组0AX =和0BX =的解空间分别是,U V 。

证明存在K 上的n 阶可逆矩阵T ，使得()()f y Ty y U =∀∈是U 到V 的同构映射.（20分）武汉大学2004年高等代数试题解答以下如有不妥之处还请大家批评与指正！！Godyalin 于2006年2月14日星期二一、解11*1*11det(())|310||||310|3||A A A A A A A ---=-=- 1*12|310|2|310|||2|35|(2)n AA AA E A E E E -+=-=-=-=--二、解为此我们先证明这样一个事实： 设A 是可逆矩阵，则有1100E A B A B CA E C D D CA B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两边取行列式有 1||||(1)A B A D CA B CD-=+-1100A B E BD A BD CC D E CD --⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两边取行列式有 1||||(2)A BD A BD C C D-=+-由（1）（2）知11||||||(*)||D D CA B A BD C A --+=+回到本题的计算。

将n D 改写为一列两个方阵之和的行列式，再凑成1D CA B -+的形状1222,2n a a D M a -⎛⎫⎪- ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭想办法再把M 的形式变成（*）中所需要的形式112121111110011n n a a M a a a a -⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭11112122122212222n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a -+++⎛⎫⎛⎫⎪⎪-+++⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪⎪-+++⎝⎭⎝⎭11122122121111100121n n n n a a a a D a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪∴=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，由（*）式得， 1211212221111101012100101011n n n n a a a a a D a a a a ---⎛⎫⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭11211101(2)()012ni in n n i i n a a a a a n ==⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪=-+- ⎪⎪⎝⎭⎪⎝⎭∑∑ 11212221211111111()22(2)1()122111(2)[(1)](2)()[(2)()()]24n i in nnii n n n n nnn n i i i i i i i i i i n a a a a n a n a a a a a n a a a ==-=====--=---=---=---∑∑∑∑∑∑∏三、解rankA Y =，故存在可逆矩阵,P Q ，使得()00000YY Y EE A P Q P E Q ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中Y E 是Y 阶单位矩阵记(),0,0Y YE B P C E Q rankB rankC Y ⎛⎫==== ⎪⎝⎭，此时有A BC =。

四、解由已知222B A A E =-+，将32A E =代入得2322(2)()(2)B A A A A A A E A A E A E =-+=+-=-+（*）下证（*）式可逆（1） A 的可逆性由32A E =两边取行列式，可得||0A ≠，得证。

（2）A E -的可逆性由32A E =变形2()()A E A A E E -++=两边取行列式，可得||0A E -≠，得证。

（3）2A E +的可逆性由32A E =变形2(2)(24)10A E A A E E +-+=两边取行列式，可得|2|0A E +≠，得证。

由（1）（2）（3）可得，|||||||2|0B A A E A E =-+≠，所以B 可逆。

1111(2)()B A E A E A ----∴=+-分别由（1）（2）（3）可得1212121(2)(24)10()12A E A A E A E A A E A A ---+=-+-=++=121(4)10B A A E -∴=++ 五、解**||,||||n AA A E AA A =∴=，又**||||||AA A A =故||0A ≠时，*1||||||||nn A A A A -== ||0A =时，若*000rankA A A =⇒=⇒=若*0,||0rankA AA A E >∴==**rankA rankA n rankA n ∴+≤⇒< **1||0||||n A A A -∴=⇒=综上所述，*1||||n A A -=六、解我们先证明这样一个事实：引理：给定两个正定矩阵C ，D ，则方程||0C D λ-=的根都大于0由C 正定，则存在实可逆矩阵T ，使得T CT E '=，此时T CT '仍为正定矩阵，故存在正交矩阵P ，使得1n d P T DTP d ⎛⎫⎪''=⎪ ⎪⎝⎭，此时P T CTP E ''=，令M=TP 故存在一个实可逆矩阵M ，使得C ，D 同时化为对角形，即1n M CM E d M DM d '=⎧⎪⎛⎫⎪⎨ ⎪'=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，1||||||||0nd M C D M M CM M DM d λλλλ-'''∴-=-==-知0,1,2,,k d k n λ=>=（1）A ，B 正定，1A -∴也正定，从而由1||0A B λ--=的根全大于0，即||0E AB λ-=的根全大于0，这说明AB 的特征根全大于0 （2）,()AB BA AB B A BA AB '''=∴===，AB ∴为正定矩阵七、解方法一、化E A λ-为对角形1111111111111()E A n λλλλλλλλ⎛⎫---⎛⎫⎪⎪ ⎪---⎪⎪-=→→ ⎪--- ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎪-⎝⎭()()A g n λλλ∴=-方法二、1()||(),()|()n A A A f E A n g f λλλλλλ-=-=-，又当0λ=时有n-1个线性无关的特征向量，从而A 可对角化，又()0A g λ=与()0A f λ=的根集相同，()()A g n λλλ∴=- 八、解（1） 欲证 V λ是g 的不变子空间，即,V g V λλαα∀∈∈即可，从而证()()f g g αλα= 任取V λα∈，则由α是f 的属于λ的特征向量有f αλα=()()()()()()f g fg gf g f g g ααααλαλα===== g V λα∴∈（2） 将g 限于到V λ上看，即|g V λ在其上任取一组基12,,,s εεε知（3） |g V λ在12,,,s εεε下的矩阵为A ，则||0E A λ-=在复数域上必有根，不妨设μ为其一根，则由()0E A X λ-=解出0X ，令120( ,,,)s X γεεε= 知|()g V λγμγ=，同时V λγ∈有()f γλγ=从而,f g 至少有一个公共特征向量。

九、解0000A E A A E EE E A A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭00E AE A E E E E A A E E A A E -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 200E E A E E A E A E E E A A E A A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22000E A E E E A EA A E A A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭20000A Erank rank A E A A ⎛⎫⎛⎫∴= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭ 2()()n rankA rank A E rankE rank A A ∴=+-=+- 222()00rank A A A A A A ∴-=⇒-=⇒=其详细证法，以及多种证法和其归纳见我论坛上的的文章矩阵的秩与矩阵相等十、（暂未做出）以下如有不妥之处还请大家批评与指正！！Godyalin 于2006年2月14日星期二。