备用试题
武汉大学数学与统计学院2002-2003学年第2学期
《线性代数》试题 (工科54学时)
姓名 学号 班号 专业 成绩 说明：一共九道题目，第一至第四题每题10分，第五至第九题每题12分。

一、设四阶行列式D =
1
0370121 34031
2
2
1
－－－－
1）、求D 的代数余子式A 12； 2）、求A 11－2A 12＋2A 13－A 14 。

二、求满足A 2＝A 的一切二阶矩阵。

三、设A ＝ 111212122212 ...................... n
n n n n n
a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⋅⋅⋅⎛⎫
⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪
⎪⋅⋅⋅⎝⎭
，（0 ,1,2,...,i j a b i j n ≠=，），求()R A 四、已知向量组1α，2α，3α线性无关，令1123βααα=-+，21232βααα=++，
312323βααα=-+，讨论向量组123, , βββ的线性相关性。

五、设线性方程组为
2
3112131
23
1222322
31323
3323
1
42434
x a x a x a x a x a x a x a x a x a
x a x
a x a ⎧++=⎪
++=⎪⎨
++=⎪⎪++=⎩ ，
1) 如果1234, , , a a a a 两两不相等，问所给方程组是否有解？
2) 如果1324, (0)a a k a a k k ==-≠＝＝，且已知12ββ，是该方程组的两个特解，其中：
T T
12(1, 1, 1)(1, 1, 1)ββ==-－，，试写出此方程组的通解。

六、设三阶方阵A 的三个特征值为1,0,1321-=λ=λ=λ，A 的属于321,,λλλ的特征向量依次为
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=520,210,002321ααα，
求方阵A 。

七、已知二次型123(, , )f x x x ＝22
2312132343448x x x x x x x x -+-+
1) 写出二次型f 的矩阵A ； 2）用正交变换把二次型f 化为标准型。

八、证明三个平面123:, :, :x cy bz y az cx z bx ay πππ=+=+=+相交于一直线的充要条件为
2
2
2
21a b c abc +++=
九、给定3R 的基⎪⎩⎪⎨⎧===.)1,1,1(,)0,1,2(,)1,0,1(3
21ξξξ 和 ⎪⎩⎪
⎨⎧--=-=-=).
1,1,2(,)1,2,2(,)1,2,1(321ηηη若定义线性变换)3,2,1(,)(==T i i i ηξ,
试求：
1）求由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的过渡矩阵X ； 2）求T 关于基321,,ξξξ的变换矩阵A 。