立体几何多项选择题专项训练及详解多项选择题：本题共 4小题，每题 5分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求 .全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分 .1．等腰直角三角形直角边长为 1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为（）A ．B．C．D．解析：若绕一条直角边旋转一周时，则圆锥的底面半径为 1，高为 1，所以母线长 l ＝，这时表面积为 ?2π?1?l +π?12＝（ 1+ ）π；若绕斜边一周时旋转体为 L 两个倒立圆锥对底组合在一起，且由题意底面半径为，一个圆锥的母线长为 1，所以表面积 S＝ 2 2 ?1＝，综上所述该几何体的表面积为，答案： AB2．已知α，β是两个不重合的平面， m，n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A ．若 m∥ n， m⊥ α，则 n⊥ αB．若 m∥ α，α∩ β＝ n，则 m∥nC．若 m⊥ α， m⊥ β，则α∥βD．若 m⊥α，m∥ n， n∥ β，则α∥β解析： A．由 m∥ n，m⊥ α，则 n⊥ α，正确；B．由 m∥ α，α∩ β＝n，则 m与 n 的位置关系不确定；C．由 m⊥ α，m⊥β，则α∥β正确D ．由 m⊥α，m∥n， n∥β，则α⊥β，因此不正确．答案： AC3．已知菱形 ABCD 中，∠ BAD ＝60°， AC与BD 相交于点 O．将△ ABD 沿 BD 折起，使顶点 A 至点 M ，在折起的过程中，下列结论正确的是（）A ．BD⊥ CMB ．存在一个位置，使△ CDM 为等边三角形C ．DM 与 BC 不可能垂直D ．直线 DM 与平面 BCD 所成的角的最大值为 60°解析：菱形 ABCD 中，∠ BAD ＝60°，AC 与BD 相交于点 O ．将△ ABD 沿BD 折起，使 顶点 A 至点 M ，如图：取 BD 的中点 E ，连接 ME ，EC ，可知 ME ⊥BD ，EC ⊥BD ，所以BD ⊥平面 MCE ，可知 MC ⊥BD ，所以 A 正确；由题意可知 AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝BD ，三棱锥是正四面体时，△ CDM 为等边三角形，所以 B 正确；三棱锥是正四面体时， DM 与 BC 垂直，所以 C 不正确；三棱锥是正四面体时，直线 DM 与平面 BCD 所成的角的最大值为60°，B ．点C 到面 ABC 1D 1 的距离为C ．两条异面直线D 1C 和 BC 1 所成的角为D ．三棱柱 AA 1D 1﹣BB 1C 1 外接球半径为解析： 正方体 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1，对于选项 A ：直线 BC 与平面 ABC 1D 1 所成的角为 ，故选 D 正确．A 正确． 答案：1，则下列四个命题正确的是(A ．直线 BC 与平面 ABC 1D 1 所成的角项对于选项 B：点 C 到面 ABC1D1的距离为 B1C 长度的一半，即，故选项 B 正确．h＝对于选项 C：两条异面直线 D1C 和 BC1 所成的角为对于选项 D：三棱柱 AA1D1﹣BB1C1 外接球半径r答案： ABD5．在正方体 ABCD ﹣ A1B1C1D1中， N 为底面 ABCD 的中心， P 为线段 A1D1上的动点（不包括两个端点），M 为线段 AP 的中点，则（）B．CM> PNC．平面PAN⊥平面 BDD 1B1D．过 P，A，C 三点的正方体的截面一定是等腰梯形解析： A．∵ ANCPM 共面，因此 CM 与 PN 不是异面直线，不正确；因此 CM> PN，因此正确．C．∵AN⊥BD，AN⊥BB1，BD∩BB1＝B，∴AN⊥平面 BDD 1B1，∴平面 PAN⊥平面BDD 1B1，因此正确；D．过 P，A，C 三点的正方体的截面与 C1D1相交于点 Q，则 AC∥PQ，且 PQ<AC，因此一定是等腰梯形，正确．答案： BCD，故选项 C 错误．B．∵ CM≥AC＝ AB，PN< A1N＝AB< AB，，故选项 D 正确．A ． CM 与 PN 是异面AA1＝6．如图，在正方体 ABCD ﹣ A1B1C1D1 中，点 P 在线段 B1C 上运动，则（A ．直线 BD 1⊥平面 A1C1DB ．三棱锥 P﹣A1C1D 的体积为定值C．异面直线 AP 与 A1D 所成角的取值范用是 [45°， 90°]D．直线 C1P 与平面 A1C1D 所成角的正弦值的最大值为解析：在 A 中，∵ A1C1⊥B1D1，A1C1⊥ BB1， B1D 1∩BB 1＝ B1，∴A1C1⊥平面 BB1D 1，∴ A1C1⊥BD1，同理， DC 1⊥ BD1，∵A1C1∩DC1＝C1，∴直线 BD1⊥平面 A1C1D，故 A 正确；在 B 中，∵ A1D∥B1C，A1D? 平面 A1C1D，B1C? 平面 A1C1D，∴ B1C∥平面 A1C1D ，∵点 P 在线段 B1C 上运动，∴ P 到平面 A1C1D 的距离为定值，又△ A1C1D 的面积是定值，∴三棱锥 P﹣A1C1D 的体积为定值，故 B 正确；在 C 中，异面直线 AP 与 A1D 所成角的取值范用是 [60°， 90°]，故 C错误；在 D 中，以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， DD1为 z轴，建立空间直角坐标系，设正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中棱长为 1，P（a，1，a），则 D（0，0，0），A1（ 1，0，1），C1（0，1，1），＝（ 1，0，1），＝（ 0， 1，1），＝（ a，0，a﹣ 1），设平面 A1C1D 的法向量＝（ x， y， z），取 x＝1，得＝（ 1，1，1），∴直线 C1P 与平面 A1C1D 所成角的正弦值为：＝∴当 a＝时，直线 C1P 与平面 A1C1D 所成角的正弦值的最大值为，故 D正确．7．己知 m、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列说法正确的是 (A ．若 m∥α，n∥β且α∥β，则 m∥ nB．若 m∥n，m⊥α， n⊥β，则α∥βC．若 m∥ n， n?α，α∥ β， m?β，则 m∥ βD ．若 m∥n，n⊥α，α⊥β，则 m∥β解析：对 A，若 m∥α，n∥β且α∥β，则 m∥n或者 m与 n 相交，或者 m 与 n 异面，以 A 错误；对 B，若 m∥n，m⊥α，则 n⊥α，又 n⊥ β，所以α∥ β，正确；对 C，若 n?α，α∥ β，则 n∥ β，又 m∥ n， m?β，所以 m∥ β，正确；对 D，若 m∥ n， n⊥ α，则 m⊥α，又α⊥ β，所以 m∥ β或 m?β，所以D 错误．答案： BCA ．△ PAB 是钝角三角形B ．此球的表面积等于 5πC ．BC⊥平面 PAC8．三棱锥 P﹣ABC 的各顶点都在同一球面上，∠BAC＝60°，则下列说法正确的是(PC⊥底面 ABC，若 PC ＝AC＝1，AB＝2，D ．三棱锥 A﹣PBC 的体积为解析：在底面△ ABC 中，由 AC＝1，AB＝ 2，∠ BAC＝ 60利用余弦定理可得： BC＝＝，所以 AC2+BC2＝ AB2，即 AC⊥ BC，又 PC⊥底面 ABC ，则 PC⊥AC，PC⊥BC；把三棱锥 P﹣ABC 放入长宽高分别为 1、、1 的长方体中，如图所示；所以 PA ＝， PB＝AB＝2，所以△ PAB 是等腰三角形，且顶角小于底角，是锐角三角形， A 错误；三棱锥的外接球也是长方体的外接球，且外接球的直径是长方体的对角线，即 2R＝＝，所以三棱锥P﹣ABC 外接球的表面积为 S＝4πR2＝π? ＝ 5π， B 正确；又 BC⊥ AC，BC ⊥PC ，且 AC∩AC＝C，所以 BC⊥平面 PAC，C 正确；三棱锥 P﹣ABC的体积为 V＝× ×1× ×1＝，D错误．答案：9．如图，正方体 ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为 1，动点 E在线段 A1C1上，F、M 分别是AD、CD 的中点，则下列结论中正确的是(A ．FM∥ A1C1B ．BM ⊥平面 CC 1FC ．存在点 E ，使得平面 BEF ∥平面 CC 1D 1DD ．三棱锥 B ﹣CEF 的体积为定值解析： A ：∵ F ，M 分别是 AD ，CD 的中点，∴FM ∥AC ∥A 1C 1，故 A 正确；B ：由平面几何得 BM ⊥ CF ，又 BM ⊥C 1C ，∴ BM ⊥平面 CC 1F ，故 B 正确；C ：BF 与平面 CC 1D 1D 有交点，∴不存在点 E ，使平面 BEF ∥平面 CC 1D 1D ，故 C 错误；D ：三棱锥 B ﹣CEF 以面 BCF 为底，则高是定值，∴三棱锥 B ﹣CEF 的体积为定值，故 D 正确．答案： ABD10．如图，在棱长均相等的四棱锥 P ﹣ABCD 中，O 为底面正方形的中心， M ，B ．平面 PCD ∥平面 OMNC ．直线 PD 与直线 MN 所成角的大小为 90根据设棱长均相等的四棱锥 P ﹣ABCD 中，各个棱长为 a ， O 为底面正方形的中心，N 分别为侧D ．ON ⊥ PBM，N 分别为侧棱 PA ， PB 的中点，所以： PA 与平面 MON 相交．故选项 A 错误．对于选项 B：由于 ON∥PD，MN∥ AB∥ CD ，所以平面 PCD∥平面 OMN ，故选项 B 正确．对于选项 C：由于各个棱长都相等，所以直线PD 与直线 MN 所成角即直线 PD 与直线CD 所夹得角，由于△ PCD 为等边三角形，所以角的大小为60°，故选项 C 错误．对于选项 D：在平面 PBD 中， ON∥PD，由于 PD＝PB＝ a，BD＝，所以 PD2+PB2＝ BD2，所以 PD⊥PB，故 ON⊥ PB，选项 D 正确．答案： BD 11．在棱长为 1的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，点M在棱 CC1上，则下列结论正确的是（）A．直线 BM 与平面 ADD 1A1 平行B．平面 BMD 1截正方体所得的截面为三角形C．异面直线 AD1与 A1C1所成的角为D．|MB|+|MD 1|的最小值为对于 A，∵面 ABCD ∥面 A1B1C1D1，BM? BCC1B1，即可判定直线 BM 与平面 ADD1A1平行，故正确；对于 B，如图 1，平面 BMD 1截正方体所得的截面可能为四边形，故错；对于 C，如图 2，异面直线 AD1 与 A1C1 所成的角为，∠ D1AC，即可判定异面直线AD1与 A1C1 所成的角为，故正确；对于 D，如图 3，MB+MD 1＝MD+MD1，如图 4，原问题相当于： AC∥ DB，直线AC，BD 间距离为 1，在 AC 上找一点 M 使得到 DB （表达）上两点间距离之和最小．只需找到 B 关于 AC 的对称点 E，MD+MD 1 的最小值即为线段 ED 的长度， ED ＝，故正确．答案： ACD。