普通高等教育“十一五”国家级规划教材随机数学（B）标准化作业简答吉林大学公共数学中心2013.2第一次作业一、填空题 1．解：应填29. 分析：样本空间含基本事件总数210C ，事件所含基本事件数为10个，即（1,2），（2，3）…，（9,10），（10,1）共10个，故所求概率为2101029C =. 2．应填0.6.分析: ()()()1()1()()()P AB P A B P A B P A B P A P B P AB ==+=-+=--+, 故()1()0.6.P B P A =-=3．应填13．4. 应填1725. 5．应填23． 6． 二、选择题1．（D ）．2.（C ）．3．（B ）．4.（C ）．5．（C ）．6.（A ）. 三、计算题1．将n 只球随机地放入N ()n N ≤个盒子中，设每个盒子都可以容纳n 只球，求：（1）每个盒子最多有一只球的概率1p ；（2）恰有()m m n ≤只球放入某一个指定的盒子中的概率2p ；（3）n 只球全部都放入某一个盒子中的概率3p ．解：此题为古典概型，由公式直接计算概率.（1）1n N n P p N=.（2）2(1)m n mN nC N p N --=.（3）311n n N p N N -==.2．三个人独立地去破译一份密码，已知每个人能译出的概率分别为111,,534，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？解：设i A 表示事件“第i 个人译出密码”，1,2,3.i =B 表示事件“至少有一人译出密码”. 则1231234233()1()1()()()15345P B P A A A P A P A P A =-=-=-=. 3．随机地向半圆)0(202>-<<a x ax y 内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x 轴夹角小于4π的概率. 解：此为几何概型问题.设A 表示事件“原点与该点的连线与x 轴夹角小于4π”. 则2221142()22a a P A a πππ+==+. 4．仪器中有三个元件,它们损坏的概率都是0.2,并且损坏与否相互独立.当一个元件损坏时, 仪器发生故障的概率为0.25,当两个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.6,当三个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.95, 当三个元件都不损坏时,仪器不发生故障.求：（1）仪器发生故障的概率；（2）仪器发生故障时恰有二个元件损坏的概率.解: 设A 表示事件“仪器出现故障”，B i 表示事件“有i 个元件出现故障”，i =1，2，3. （1）31()()()i i i P A P B P A B ==∑，384.08.02.03)(21=⨯⨯=B P ，22()30.20.80.096P B =⨯⨯=，008.02.0)(33==B P .所以1612.095.0008.06.0096.025.0384.0)(=⨯+⨯+⨯=A P . （2）22()0.0960.6()0.3573()0.1612P AB P B A P A ⨯===. 5．在100件产品中有10件次品；现在进行5次放回抽样检查，每次随机地抽取一件产品，求下列事件的概率：（1）抽到2件次品；（2）至少抽到1件次品．解：设i A 表示取到i 件次品，0,1,2,3,4,5.i = （1）()()23225()0.110.10.73.P A C =-≈ （2）()50()110.10.41.P A =--≈四、证明题1．设0()1,0()1,(|)(|)1P A P B P A B P A B <<<<+=，证明事件A 与B 相互独立． 证明：由定义证明.(|)(|)1(|)1(|)(|)()()()()()()()()1()()()()P A B P A B P A B P A B P A B P AB P AB P B P B P AB P A P AB P B P B P AB P A P B +=⇒=-=⇒=-⇒=-⇒=所以事件A 与B 相互独立．2．设事件A 的概率()0P A =，证明A 与任意事件都相互独立． 证明：设B 为任意事件，显然AB A ⊂, 从而0()()0P AB P A ≤≤=，即()0P AB =， 满足()()()P AB P A P B =， 故A 与任意事件都相互独立．第二次作业一、填空题 1．应填1124. 2. 应填3．应填964． 4 5．应填1927． 6. 应填0.2． 7. 应填0.975． 二、选择题1.（D ）.2.（D ）. 3．（A ）．4．（B ）．5．（D ）．6. （C ）. 7．（C ）． 三、计算题1．一批产品由9个正品和3个次品组成，从这批产品中每次任取一个，取后不放回，直到取得正品为止．用X 表示取到的次品个数，写出X 的分布律和分布函数．解：X 的分布律为X 的分布函数为0,0,3,01,421(),12,22119,23,2201,3.x x F x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪≥⎪⎩2．设随机变量X 的概率分布为（1）求2Y X =-的概率分布；（2）求Z X =的概率分布． 解：倒表即可.3．设连续型随机变量X 的概率密度为,01,()(2),12,0,,x x f x k x x ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它求：（1）k 的值；（2）X 的分布函数．解：（1）由1211(2)122kxdx k x dx +-=+=⎰⎰，得1=k . （2）当0x <时，()0F x =，当01x ≤<时201()()d 2x F x f t t x ==⎰，当12x ≤<时120011()()d (2)d 212x x F x f t t tdt t t x x ==+-=--⎰⎰⎰，当2x >时，()1F x =.4．设随机变量X 服从正态分布(3,4)N ，求：{23},{||2}P X P X <<>，{||3}P X <． 解：11{23}{0}(0)()(0.5)0.5.22P X P X ΦΦΦ-<<=<<=--=- {||2}1{||2}1(2.5)(0.5).P X P X ΦΦ>=-≤=-+{||3}(3)0.5.P X Φ<=-5．设连续型随机变量X 的分布函数为0,,()arcsin ,,(0)1,,x a x F x A B a x a a a x a ≤-⎧⎪⎪=+-<<>⎨⎪≥⎪⎩求：（1）常数A 、B ．（2）随机变量X 落在,22a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的概率．（3）X 的概率密度函数．解：（1）(0)0,(0)122F a A B F a A B ππ+=-=-=+=，得11,.2A B π== （2）1()(0).22223aa a a P X F F ⎧⎫-<<=---=⎨⎬⎩⎭（3）X的概率密度函数,()()0,x a f x F x <'==⎩其 它.6．已知随机变量X 的概率密度为,0<1,()0,ax b x f x +<⎧=⎨⎩其 他,且15,28P X ⎧⎫>=⎨⎬⎩⎭求（1）常数,a b 的值；（2）11.42P X ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭解:（1）由1011()d ()d 2f x x ax b x a b +∞-∞==+=+⎰⎰，再由1125131{}()d ,8282P X ax b x a b =>=+=+⎰解得11,2a b ==. （2）12141117{}()d .42232P X x x <≤=+=⎰7．已知随机变量X 的概率密度为1()e ,,2x X f x x -=-∞<<+∞又设1,0,1,0,X Y X +>⎧=⎨-≤⎩求：（1）Y 的分布律；（2）计算12P Y ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.解：（1）,21)0(}0{}1{==≤=-=X F X P Y P .21211}1{1}1{=-=-=-==Y P Y P 分布律为Y -1 1k p 21 21（2）1122P Y ⎧⎫>=⎨⎬⎩⎭.8．已知随机变量X 的概率密度为e ,0,()0,0,x x f x x -⎧>=⎨≤⎩求：随机变量2Y X =的概率密度函数．解：设Y 的分布函数为{}()Y F y P Y y =≤.当0y <时，{}{}2()0Y F y P Y y P X y =≤=≤=，当0y ≥时，{}{}2()(YXX F y P Y y P Xy FF =≤=≤=-，因此Y的概率密度函数为0,()0,0.Y y f y y >=<⎩四、证明题1. 设随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，证明：(0)Y aX b a =+≠仍然服从正态分布，并指出参数.解：教材59页例题.2. 设随机变量X 服从参数为2λ=的指数分布，证明：21e X Y -=-服从[0,1]上的均匀分布．解：设21e X Y -=-的分布函数为(),Y F y 取值范围为[0,1]. 当0y <时，{}()0Y F y P Y y =≤=，当01y ≤<时，{}{}21()1e (ln(1))2X Y X F y P Y y P y F y -=≤=-≤=--，当1y ≥时，{}()1Y F y P Y y =≤=，因此Y 的概率密度函数为1,01,()0,.Y y f y <<⎧=⎨⎩其 它第三次作业一、填空题1．max{,}X Y 的分布律为2. {}1,1,2,2m m P X m m +===L ，{}1,1,2,2nP Y n n ===L . 3．应填0. 4．应填112e-． 5．应填22221,,(,)0,x y R f x y R π⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其它.6. 应填3.7. 应填()X F x =(())n F x ． 二、选择题1.（B ）. 2．（B ）． 3．（A ）. 4．（C ）． 5．（D ）． 6．（D ）. 7.（B ）. 三、计算题1．设随机变量X 在1，2，3，4四个数字中等可能取值，随机变量Y 在1~X 中等可能地取一整数值，求(,)X Y 的概率分布，并判断X 和Y 是否独立．解：(,)X Y 的概率分布为可以验证X 和Y 不相互独立．2. 设随机事件A 、B 满足11(),()(),42P A P B A P A B ===令1,0A X A ⎧=⎨⎩发生,，不发生,1,0B Y B ⎧=⎨⎩发生,，不发生,求（1）(,)X Y 的概率分布；（2）Z X Y =+的概率分布.解：（1）111(),()()4312P A P B A P AB ==⇒=，11()()26P A B P B =⇒={}20,0()1()()()3P X Y P AB P A P B P AB ====--+=，{}10,1()()()12P X Y P AB P B P AB ====-=， {}11,06P X Y ===，{}11,112P X Y ===. （2）Z 可能取值为0，1，2.{}{}{}2110,1,2.3412P Z P Z P Z ======3．已知随机变量X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(0,)N σ，求常数R ，使得概率}0.5P R =．解：X 的概率密度为222(),x X f x σ-=Y 的概率密度为222(),y Y f y σ-=由于X 和Y 相互独立，从而联合概率密度为222221(,)e ,2x y f x y σπσ+-=22222222001}d ed 1e0.52r R RP R r r πσσθπσ--≤==-=⎰⎰，解得R =.4．已知二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(2)e ,0,0,(,)0,x y k x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它.（1）求系数k ；（2）条件概率密度()X Y f x y ；（3）判断X 和Y 是否相互独立；（4）计算概率{}21P X Y <<；（5）求min{,}Z X Y =的密度函数()Z f z .解：（1）由(,)d d 1,f x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰得2k =.（2）关于X 和Y 的边缘概率密度分别为22e ,0,()0,0,x X x f x x -⎧>=⎨≤⎩e ,0,()0,0.y Y y f x y -⎧>=⎨≤⎩从而X 和Y 是相互独立的，()X Y f x y 22e ,0,0,0.x x x -⎧>=⎨≤⎩（3）相互独立.（4）{}4211e P X Y -<<=-.（5）min{,}Z X Y =的分布函数为31e ,0,()0,0.z Z z F z z -⎧->=⎨≤⎩所以33e ,0,()0,0.z Z z f z z -⎧>=⎨≤⎩5. 设随机变量U 在区间[2,2]-上服从均匀分布，令11,11,U X U -≤-⎧=⎨>-⎩若若11,11,U Y U -≤⎧=⎨>⎩若若求(,)X Y 的联合分布律.解：(,)X Y 可能取的值为（-1，-1），（-1，1），（1，-1），（1，1）{}{}{}11,1114P X Y P U P U =-=-=≤-≤=， {}{}{}1,1110P X Y P U P U =-==≤->=，{}{}{}11,1112P X Y P U P U ==-=>-≤=， {}{}{}11,1114P X Y P U P U ===>->=. 6．设(,)X Y 的概率密度1,01,02,(,)0,.x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩其 它求2Z X Y =-的概率密度.解：设z 的分布函数为()Z F z ，取值范围[0,2]，当0z <时，()0Z F z =， 当02z ≤<时，{}21()24Z F z P X Y z z z =-≤=-，当2z ≥时，()1Z F z =.从而2Z X Y =-的概率密度11,02()20,.Z z z f z ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他第四次作业一、填空题1．应填()E X =-0.2, 2()E X =2.8，,13.4．2．应填2212(23)43D X Y σσ-=+．3．应填2()5E Y =． 4．应填13. 5．应填22()6b ab a π++．6．应填8()9D Y =． 7．应填41()5E X =，31()7D X =． 二、选择题1.（C ）. 2．（D ）． 3．（B ）．4． （B ）．5．（A ）． 6.（C ）． 7.（C ）. 三、计算题1．设随机变量X 的概率密度为,02,(),24,0,ax x f x cx b x <<⎧⎪=+≤<⎨⎪⎩其它.已知3()2,{13}4E X P X =<<=，求,,a b c 的值． 解：由以下三个条件()d 12621,f x x a c b +∞-∞=⇒++=⎰()d 242893,EX xf x x a c b +∞-∞==⇒++=⎰32311233{13}()d d ()d 61043,44P X f x x ax x cx b x a c b <<=⇒=++=⇒++=⎰⎰⎰ 解得11,1,44a b c ===-.2．设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为1(),02,02,(,)80,,x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其 它求(),(),cov(,),XY E X E Y X Y ρ和()D X Y +．解：220017()()d ()d 86E X E Y x x x y y ==+=⎰⎰，222220015()()d ()d 83E X E Y x x x y y ==+=⎰⎰，11()()36D X D Y ==,220014()d ()d 83E XY x xy x y y =+=⎰⎰，1cov(,)()()()36X Y E XY E X E Y =-=-， 111XY ρ==-，5()()()2cov(,)9D X Y D X D Y X Y +=++=. 3．设二维离散型随机变量(,)X Y 的联合概率分布为（1）写出关于X 、Y 及XY 的概率分布；（2）求X 和Y 的相关系数XY ρ. 解：（1）（2）4()3E X =,()1E Y =,4()3E XY =，Cov(,)0X Y =，0XY ρ=.4．在数轴上的区间[0,]a 内任意独立地选取两点M 与N ，求线段MN 长度的数学期望． 解：设两点的坐标分别为X ，Y ，则（X ，Y ）的联合概率密度为21,0,,(,)0,x y a f x y a ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它. 所求2()d d 3aax y a E X Y x y a --==⎰⎰. 5．一民航送客车载有20名乘客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，假设每位旅客在各个车站下车的可能性相同，且各个旅客是否下车相互独立，求停车次数X 的数学期望．解：引入随机变量，令0,1,2,,10.1i i X i i ⎧==⎨⎩L 第站不停，，第站停，从而110X X X =++L ，又{}{}2020990,111010i i P X P X ⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()2020()10.9,()1010.98.784i E X E X ⎡⎤=-=⨯-≈⎣⎦（次）.6．假设由自动流水线加工的某种零件的内径X （毫米）服从正态分布(,1)N μ，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品；销售合格品获利，销售不合格品亏损，已知销售一个零件的利润T （元）与零件内径X 的关系为1,10,20,1012,5,12,X T X X -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩．问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大． 解：{}{}{}20101210512ET P X P X P X =⨯≤≤-<->25(12)21(10)5μμ=Φ--Φ--令2d 250,11ln 10.9d 21ET μμ⎛⎫==-≈ ⎪⎝⎭得（mm ） 即平均内径μ取10.9mm 时，销售一个零件的平均利润最大．第五次作业一、填空题 1．应填112. 2．应填0.975. 二、选择题 1．（B ）． 2．（D ）． 三、计算题1．某保险公司多年的统计资料表明，在索赔客户中被盗索赔占20%，以X 表示在随机抽查的100个索赔客户中因被盗向保险公司索赔的户数.（1）写出X 的概率分布；（2）利用德莫佛—拉普拉斯定理，求被盗索赔客户不少14户且不多于30户的概率的近似值．解：（1）索赔户为X ，则~(100,0.2)X B ， （2）由De Moivre-Laplace 极限定理{}1430P X P ≤≤=≤≤53()()0.927.22≈Φ-Φ-≈2.设某种元件使用寿命（单位：小时）服从参数为λ的指数分布，其平均使用寿命为40小时，在使用中当一个元件损坏后立即更换另一个新的元件，如此继续下去.已知每个元件的进价为a 元，试求在年计划中应为购买此种元件作多少预算，才可以有95%的把握保证一年够用（假定一年按照2000个工作小时计算）.解：假设一年需要n 个元件，则预算经费为na 元. 设每个元件的寿命为,i X 则n 个元件使用寿命为1,ni i X =∑由题意120000.95,n i i P X =⎧⎫≥≥⎨⎬⎩⎭∑又221140,40,i i EX DX λλ====由独立同分布中心极限定理，()21~40,40,ni i X N n n =∑1200010.95 1.6463.04,n i i P X n =⎧⎫≥=-Φ≥≥⇒≥⎨⎬⎩⎭∑故年预算至少应为64a 元.3．一条生产线的产品成箱包装，每箱的重量时随机的.假设平均重50千克，标准差为5千克.如果用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每量车最多可以装多少箱，才能保证不超载的概率大于0.977，（(2)0.977Φ=.）解：设i X 是装运的第i 箱的重量，n 是箱数，且()5,1,2,.i E X i n ===L{}50000.977n P T P ≤=≤≈Φ> 解得98.0199,n <，即最多可以装98箱.第六次作业一、填空题1．应填1ni ii n x x n==∑，2211()1n i i s x x n ==--∑，s = 2．应填a =120，b =1100，2． 3．应填()E X mp =，(1)()mp p D X n-=． 4．应填(1).t n -5．应填112e ,0,(,,,)0,0.ni i xn in i x f x x x x λλ=-∑⎧⎪>=⎨⎪≤⎩L 二、选择题1．（B ）．2．（C ）．3．（D ）．4.（D ）. 5．（A ）． 三、计算题1．从正态总体N (20, 3) 中分别抽取容量为10和15的两个相互独立样本，求样本均值之差的绝对值大于0.3的概率．解：设样本均值为,X Y ，则~(0,0.5)U X Y N =-，{}0.31220.6744.P X Y P ⎫->=-≤=-Φ≈2．设128,,,X X X L 是来自正态总体(0,0.2)N 的样本，试求k ，使{}8210.95i i PX k =<=∑．解：因为228221~~(0,1),~(1),~(8)0.20.2i i i i X X X N N χχ=∑. 所以{}8221(8)0.950.2i i k PX kP χ=⎧⎫<=<=⎨⎬⎩⎭∑，查表得15.5070.2k=，即 3.1014.k = 3．设12,,,n X X X L 是取自正态总体2~(,)X N μσ的一个样本，样本均值为X ，样本方差为2S ，22(),(),(),().E X D X E S D S解：222();();(),E X D X E S nσμσ===22222224(1)(1)(1)~(1),()2(1),n S n S n n D D S n χσσσ⎛⎫----==- ⎪⎝⎭从而422().1D S n σ=-4．设总体X 的概率密度为2cos2,0,()40,,x x f x π⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它12,,,n X X X L 为总体X 的样本，求样本容量n ，使1215{min(,,,)}1216n P X X X π<≥L ． 解：先求X 的分布函数，代入有 1151[1()]1,12216nnp F π⎛⎫=--=-≥ ⎪⎝⎭解得4n ≥，故n 取4.5.已知二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布22(0,1,2,3,0)N ，判断2294(1)X F Y =-服从的概率分布.解：由题意~(0,2),~(1,9)X N Y N ,且相互独立， 从而1~(0,1),~(0,1)23X Y N N -, 即2222(1)~(1),~(1)49X Y χχ-，由F 分布的定义229~(1,1).4(1)X F F Y =-第七次作业一、填空题 1．应填X λ=$． 2．应填22X θ=-$． 3．应填X λ=$． 4．应填(0.98,0.98)-． 5．35． 二、选择题1．（B ）．2．（D ）．3．（C ）．4．（A ）． 三、计算题1．设总体X 具有概率分布其中()01θθ<<是未知参数，已知来自总体X 的样本值为1，2，1.求θ的矩估计值和最大似然估计值．解：4()23,3E X x θ=-+=,令()E X x =，解得θ的矩估计值为µ156θ=. 似然函数为5()2(1),ln ()ln 25ln ln(1)L L θθθθθθ=-=++-， 令dln ()510d 1L θθθθ=-=-， 解得θ的最大似然值为µ256θ=. 2．设总体X 的分布函数为11(),1,(;)0,1.x F x xx ββ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩ 其中参数1β>是未知参数，又12,,,n X X X L 为来自总体X 的随机样本，（1）求X 的概率密度函数( ; )f x β；（2）求参数β的矩估计量；（3）求参数β的最大似然估计量.解：由题意（1）1,1,( ; )0,1.x f x x x βββ+⎧>⎪=⎨⎪≤⎩（2）µ11d 11XEX xx X xX βββββ+∞+===⇒=--⎰. （3）设1,,n x x L 为一组样本值，似然函数为111,1,()(;)1,2,,.()0,.nni i n i x L f x i n x x ββββ+=⎧>⎪===⎨⎪⎩∏L L 其 他当1i x >时，1ln ()ln (1)ln()n L n x x βββ=-+L 令1dln ()ln 0d ni i L n x βββ==-=∑，得β的最大似然估计量为µ1.ln nii nXβ==∑四、证明题1．设总体X 的均值()E X μ=及方差2()0D X σ=>都存在，μ与2σ均未知，12,,,n X X X L 是X 的样本，试证明不论总体X 服从什么分布，样本方差()22111ni i S X Xn ==--∑都是总体方差2()D X σ=的无偏估计．证明：教材145~146页.2．设123,,X X X 是总体X 的样本，()E X μ=，2()D X σ=存在，证明估计量µ1123211366X X X μ=++, ¶2123111424X X X μ=++, ¶3123311555X X X μ=++ 都是总体X 的均值()E X 的无偏估计量；并判断哪一个估计量更有效．证明：µ2221231311(),(),(),()2825i E D D D μμμσμσμσ====， 因为2()D μ最小，所以¶2123111424X X X μ=++更有效.第八次作业一、填空题10)X μ-． 2．应填α．3．应填22()n αχχ≥． 二、选择题1．（B ）．2．（C ）．3．（C ）． 三、计算题1．某车间用一台包装机包装葡萄糖，包得的袋装葡萄糖的净重X （单位kg ）是一个随机变量，它服从正态分布2(,)N μσ，当机器工作正常时，其均值为0.5kg ，根据经验知标准差为0.015kg （保持不变），某日开工后，为检验包装机的工作是否正常，从包装出的葡萄糖中随机地抽取9袋，称得净重为0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512试在显著性水平0.05α=下检验机器工作是否正常．解：按题意需要检验0H ：0.5μ=，1H ：0.5μ≠，检验统计量~(0,1)X x u N ==，拒绝域{}2 1.96W u u u α⎧⎫=≥=≥⎨⎬⎩⎭，经计算 2.2 1.96x u ==>，故拒绝原假设，即认为机器工作不正常.2．设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05α=下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程．解：设这次考试的考生成绩为X ，则2~(,)X N μσ. 0H ：70μ=，1H ：70μ≠，检验统计量~(1)X t t n =-，拒绝域{}0.0252(1)(35) 2.0301W t t n t t α⎧⎫=≥-=≥=⎨⎬⎩⎭，经计算 1.4t =-，故接受原假设，即可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.3．设有甲，乙两种零件，彼此可以代用，但乙种零件比甲种零件制造简单，造价低，经过试验获得抗压强度（单位：2kg/cm ）为甲种零件：88, 87, 92, 90, 91， 乙种零件：89, 89, 90, 84, 88.假设甲乙两种零件的抗压强度均服从正态分布，且方差相等，试问两种零件的抗压强度有无显著差异（取0.05α=）？解：本题是在显著性水平0.05α=下，检验假设 0H ：12μμ=，1H ：12μμ≠，检验统计量12~(2)X Y t t n n =+-，拒绝域{}120.0252(2)(8) 2.3060W t t n n t t α⎧⎫=≥+-=≥=⎨⎬⎩⎭，经计算0.724t =，故接受原假设，即认为两种零件的抗压强度无显著差异.4．某无线电厂生产的一种高频管，其中一项指标服从正态分布2(,)N μσ，从一批产品中抽取8只，测得该指标数据如下：66,43,70,65,55,56,60,72,（1）总体均值60μ=，检验228σ=（取0.05α=）； （2）总体均值μ未知时，检验228σ=（取0.05α=）． 解：本题是在显著性水平0.05α=下，检验假设0H ：22208σσ==，1H ：228σ≠， （1）均值60μ=时，检验统计量2222101()~()nii Xn χμχσ==-∑，拒绝域：{}222222220.0250.975122()()(8)17.535(8) 2.182W n n ααχχχχχχχχ-⎧⎫=≥≤=≥=≤=⎨⎬⎩⎭U U ，经计算210.3281χ=， 故接受原假设，即认为228σ=. （2）均值μ未知时，检验统计量2222(1)~(1)n S n χχσ-=-，拒绝域：{}222222220.0250.975122(1)(1)(7)16.013(7) 1.690W n n ααχχχχχχχχ-⎧⎫=≥-≤-=≥=≤=⎨⎬⎩⎭U U ，经计算210.2017χ=， 故接受原假设，即认为228σ=.综合练习一一、填空题 1．应填815． 2．应填23． 3．应填e λ-．4．应填8,0.2n p ==．5．应填89．6X 二、选择题1．（D ）．2．（C ）．3．（D ）．4．（A ）． 三、解答下列各题1．某仓库有十箱同样规格的产品，其中有五箱、三箱、两箱依次是由甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙三厂生产该产品的次品率依次为111,,101220，今从这十箱产品中任取一箱；再从中任取一件产品．（1）求取到的产品是合格品的概率；（2）若已知抽取的产品是合格品，求它由甲厂生产的概率．解：设A 表示“取到的产品是合格品”，i B 表示“产品分别是甲、乙、丙厂生产的”，1,2,3.i =123532(),(),(),101010P B P B P B === 12391119(),(),(),101220P A B P A B P A B === （1）123123()()()()()()()0.915.P A P B P A B P B P A B P B P A B =++= （2）111()()()/()0.4918.P B A P B P A B P A ==2．设随机变量X 的概率密度为||()e ,()x f x A x -=-∞<<+∞，求（1）常数A ；（2）X 的分布函数．解：（1）由||()d e d 21x f x x A x A +∞+∞--∞-∞===⎰⎰，得12A =. （2）X 的分布函数 1e ,0,2()()d 11e ,0.2xxx x F x f t t x -∞-⎧<⎪⎪==⎨⎪-≥⎪⎩⎰3．求总体(20,3)N 的容量分别为10和15的两个独立样本均值之差的绝对值大于0.3的概率．解：设样本均值为,X Y ，则~(0,0.5)U X Y N =-，{}0.31220.6744.P X Y P ⎫->=-≤=-Φ≈4．设总体X 的概率密度为(1)(1),12,()0,x x f x θθ⎧+-<<=⎨⎩其它,其中0θ>是未知参数，又12,,,n X X X L 为取自总体X 的简单随机样本，求θ的矩估计量和最大似然估计量.解：（1）2123(1)(1)d 2EX x x x θθθθ+=+-=+⎰，令EX X =，得θ的矩估计量322X -=-Xθ$. （2）设1,,n x x L 为一组样本值，则似然函数为()11(1)(1)(1)[(1)]nnni i i i L x x θθθθθ===+-=+-∏∏，取对数()1ln ln(1)ln (1)ni i L n x θθθ==++-∏，令dln ()0,d L θθ= 得θ的最大似然估计量.1X Xθ=-$ 5．一电子仪器由两部件构成，以X 和Y 分别表示两部件的寿命（单位：千小时），已知X 和Y 的联合分布函数为0.50.50.5()1e e e ,0,0,(,)0,x y x y x y F x y ---+⎧--+≥≥=⎨⎩其它,问X 和Y 是否相互独立．解：关于X 和Y 的边缘分布函数分别为0.51e ,0,()(,)0,0.x X x F x F x x -⎧-≥=+∞=⎨<⎩ 0.51e ,0,()(,)0,0.y Y y F x F y y -⎧-≥=+∞=⎨<⎩因为(,)()()X Y F x y F x F y =， 所以X 和Y 相互独立．6．设随机变量(,)X Y 的联合概率密度为26,01,01,(,)0,xy x y f x y ⎧<<<<=⎨⎩其它.求：（1）关于X 和Y 的边缘概率密度()X f x 和()Y f y ；（2）求{}P X Y ≥.解：（1）关于X 的边缘概率密度为1206d 2,01,()(,)d 0X xy y x x f x f x y y +∞-∞⎧=<<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其 他.关于Y 的边缘概率密度12206d 3,01,()(,)d 0, .Y xy x y y f x f x y x +∞-∞⎧=<<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其 他（2）{}120026d d 5xP X Y x x y y ≥==⎰⎰.7．设对某目标连续射击，直到命中n 次为止，每次射击的命中率为p ，求子弹消耗量X 的数学期望．解：设i X 表示第1i -次命中到第i 次命中之间消耗的子弹数，则1ni i X X ==∑，且~()i X G p ，从而 1()()ni i n E X E X p===∑. 8.设二维随机变量,)X Y （在区域{}(,)01,01D x y x y =<<<<上服从均匀分布，求Z X Y =+的概率密度()Z f z .方法1：()(,)d Z f z f x z x x +∞-∞=-⎰，,01,()(,)d 2,12,0,.Z z z f z f x z x x z z +∞-∞<<⎧⎪=-=-<<⎨⎪⎩⎰其 它方法2：2200,1,01,2121,12,20,.Z ,z <z z F z z z z ⎧⎪⎪≤<⎪⎨⎪--≤<⎪⎪⎩（)=其 它,01,()()2,12,0,.Z Z z z f z F z z z <<⎧⎪'⇒==-<<⎨⎪⎩其 它综合练习二一、填空题1．应填15．2．应填37． 3．应填0.8． 4．应填2e -． 5．应填2u u α≥．二、选择题1．（B ）．2．（C ）．3．（A ）．4．（C ）．5.（D ）． 三、设随机变量X 的分布函数为0,0,()1(1)e ,0.xx F x x x -≤⎧=⎨-+>⎩（1）求X 的概率密度()f x ；（2）计算{}1P X ≤． 解：（1）e ,0,()()0,.x x x f x F x -⎧>'==⎨⎩其它（2）{}11(1)12e P X F -≤==-.四、已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求从乙箱中任取一件产品是次品的概率.解：X 的可能取值为0，1，2，3，X 的分布律为{}33336,0,1,2,3.k kC C P X k k C -=== 即{}{}{}{}19910,1,2,3.20202020P X P X P X P X ======== 设A 表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于{},X i =0,1,2,3.i =构成完备事件组，由全概率公式有(){}{}{}331.64k k k P A P X k P A X k P X k =======⋅=∑∑五、设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(1)e,0,0,(,)20,.x y k x x y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩其 它求：（1）系数k ；（2）边缘概率密度；（3）X 和Y 是否独立.解：（1）2k =； （2）21,0,e ,0,(1)()()0,0.0,0.x X Y y x y f x f y x y -⎧>⎧>⎪+==⎨⎨≤⎩⎪≤⎩（3）(,)()()X Y f x y f x f y ≠，不相互独立.六、设12,,,n X X X L 为来自正态总体2(,)N μσ的一组简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，2211()1n i i S X X n ==--∑，统计量221,T X S n =-证明T 是2μ的无偏估计量. 解：（1）222222221111()()()()ET E X E S DX EX E S n n n nμσσμ=-=+-=+-=，所以T 是2μ的无偏估计量.。