第十一章 习题答案1． 1常数项级数的概念及基本性质1．解：（1） +⋅+⋅+⋅+⋅+⋅651541431321211 （2） -+-+-514131211(3)+++++54325!54!43!32!21!1 (4)+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+10864297531864275316425314231212． 解：（1）121-=n u n （2）12+-=n n u n （3）)2(6422n x u nn ⋅⋅=（4）12)1(11+-=++n au n n n3． 解：（1）0131limlim ≠==∞→∞→nn n n u ，∴级数发散（不满足级数收敛的必要条件）。

（2）原级数可写为)4131211(31 ++++。

∵括号内级数为调和级数发散，∴原级数发散。

（3）原级数为公比等于23的几何级数，∵123>，∴原级数发散。

（4）原级数为发散的调和级数 +++++514131211去掉前三项，∴原级数发散。

（5）原级数为公比等于98-的几何级数，198<-，∴原级数收敛。

（6）∵级数+++32212121收敛（公比121<的几何级数），级数 +++32313131收敛（公比131<的几何级数），∴原级数收敛（收敛级数可以逐项相加减）。

4． 解：（1）a a a a a a a a a a S n n n n -=-++-+-+-=+-+12121257353)()()()( ，a a a S n n n n -=-=+∞→∞→1)(lim lim 12，∴此级数收敛。

（2）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++=n n n n n n n u n+⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅=∴)541431(21)431321(21)321211(21n S])2)(1(1)1(1[21++-++n n n n =])2)(1(121[21++-n n ，41])2)(1(121[21lim =++-=∞→n n S n n ，∴此级数收敛。

（3）)121121(21)12)(12(1+--=+-=n n n n u n)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+-=+--++-+-+-=∴n n n S n ， 21)1211(21limlim =+-=∞→∞→n S n n n ，∴此级数收敛。

1． 2正项级数及其判敛法1．解：（1）nn u n 21121>-=，而级数∑∑∞=∞==1112121n n nn发散，∴原级数发散。

（2）21)1(1nn n u n <+=，而级数∑∞=121n n收敛（12>=P 的P 级数），∴原级数收敛。

（3）nnn n nn u n +=+++>++=112111122，而级数 +++=+∑∞=413121111n n发散（调和级数去掉第一项），∴原级数发散。

（4）)0(sin ≥≤ααα ，nnn u 22sinππ≤=∴，而级数∑∑∞=∞==11212n nn nππ收敛（公比为121<的几何级数），∴原级数收敛。

（5）)1(211>≤=n nu nnn ，而级数∑∞=121n n收敛，∴原级数收敛。

（6）4145125122+=+++>+++=n n n n n n n u n ，而级数 +++=+∑∞=716151411n n 发散（调和级数去掉前四项），∴原级数发散。

（7）111tanlim22=∞→nn n ，而级数∑∞=121n n收敛，∴原级数收敛。

（8）1ln )11ln(lim 1)11ln(lim==+=+∞→∞→e nnnnn n ，而级数∑∞=11n n发散，∴原级数发散。

2．解：（1）121)2(23lim222)3(limlim,2211<=++=+⋅+=+=∞→+∞→+∞→n n n n u u n u n nn n nn n nn ，∴原级数收敛。

（2）1313)1(lim33)1(limlim,32221212<=+=⋅+==∞→+∞→+∞→nn nn u u n u n n n n nn n nn ，∴原级数收敛。

（3）enn n n nn n u u nn u n n nn nnn n n nn n nnn 2])11[(lim 2)1(2lim !2)1()!1(2limlim,!21111=+=+=⋅++==-∞→∞→++∞→+∞→1<，∴原级数收敛。

（4）12122lim22lim 2tan2tan )1(limlim,2tan 21121211<===+==++→∞++→∞++→∞+→∞+n n n n n n n n n nn n n n n n u u n u πππππ，∴原级数收敛。

（5）)13(52)34(51)14)(34(51)23)(13(52limlim1-⋅-⋅⋅+-⋅+-⋅=∞→+∞→n n n n n n u u n nn n 1423lim ++=∞→n n n 143<=，∴原级数收敛。

（6）14)1()22)(12(lim)!2()!(])!1[()!22(limlim2221>=+++=⋅++=∞→∞→+∞→n n n n n n n u u n n nn n ，∴原级数发散。

3．解：（1）12112lim)12(limlim <=+=+=∞→∞→∞→n n n n u n nnn nn n ，∴原级数收敛。

（2）191)31()13(lim lim212<==-=-∞→∞→nn n nn n n nu ，∴原级数收敛。

4．解：（1）143)43()43)(1(lim lim11<=+=+∞→+∞→n n n nn n n n u u ，∴原级数收敛。

（2）)(11b a n bna u n +≥+=，而∑∑∞=∞=+=+1111)(1n n nba b a n 发散，∴原级数发散。

（3）02112limlim ≠=--=∞→∞→n nn u n n n ，∴原级数发散。

（4）nnnnn nnn n nn nn nn nu 121211])11[()11()1(2+=+=+=+，1lim 1=∞→n n n ，1])11[(lim 0122==+∞→e nn nn ，01lim ≠=∴∞→n n u , ∴原级数发散。

(5)25235323232)2)(1(32nnnn n n n u n +=+<+++=，∑∑∞=∞=1251232,2n n nn收敛，∑∞=+∴1532n nn 收敛，∴原级数收敛。

（6）∞====∞→∞→∞→∞→nn n n n nnn n n nn n n u 2lim )2(lim 2sinlim lim ，∴原级数发散。

（7）2311)11ln(,1)11ln(n n n nnu nnn =<+=∴<+，而∑∞=1231n n收敛，∴原级数收敛。

（8）12122lim lim1)1(<===-----∞→∞→nn n nn n nu ，∴原级数收敛。

（9）)]12)(12(531[!999)!1000(,)]12(531[!999)!999(1+-⋅⋅+=-⋅⋅+=+n n n u n n u n n121121000limlim1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n ，∴原级数收敛。

1． 3任意项级数1． 证明：1)!12)(12(1)!12)(12(1+=++>--=n n u n n n n u ，0)!12)(12(1limlim =--=∞→∞→n n u n n n 。

据莱布尼兹定理，所给交错级数收敛，且若取!551!33113⋅+⋅-=≈S S ，则误差满足0001.0352801!7713<=⋅<r 。

2． 证明：设)1(1)(≥+=x x x x f ，则0)1(21)(2/<+-=x x x x f （当1>x 时），于是)(x f在1≥x 上单调减。

故)1()(+≥n f n f ，即1+≥n n u u ，又1limlim +=∞→∞→n n u n n n nnn 11lim1+=∞→0=，据莱布尼兹定理，所给交错级数收敛。

3． 解：（1）该级数为交错级数。

1111+=+>=n n u n nu ，又01limlim ==∞→∞→nu n n n，据莱布尼兹定理该级数收敛。

再考察正项级数∑∑∞=∞==121111n n nn发散，∴原级数为条件收敛。

（2）先考察正项级数 +-++++222)12(151311n 。

221)12(1nn u n ≤-=，而∑∞=121n n收敛，∴级数∑∞=-12)12(1n n 收敛。

∴原级数收敛且为绝对收敛。

（3）1)2ln(1)1ln(1+=+>+=n n u n n u ，且0)1l n (1lim=+∞→n n ，∴由莱布尼兹定理知原级数收敛。

又∑∑∞=∞=++=+-111)1ln(1)1ln()1(n n n n n ，且11)1l n(1+>+n n ，而级数∑∞=+111n n 发散，∴∑∞=++-11)1ln()1(n n n 发散，∴原级数为条件收敛。

（4）在∑∑∞=-∞=--=-1111133)1(n n n n n nn 中，13-=n n n u ，13133)1(limlim11<=⋅⋅+=-∞→+∞→nn u u nn n nn n ，∴∑∞=---1113)1(n n n n 收敛。

∴原级数收敛且为绝对收敛。

（5）先考察正项级数1sin111+∑∞=+n n n ππ。

1111sin1++≤+n n n πππ，而级数∑∞=+111n n π为收敛的几何级数，∴该正项级数收敛。

∴原级数收敛且为绝对收敛。

（6）该级数为交错级数。

nn u n ln 1-=，n n n n ln )1ln(1->+-+ ，)1ln(11ln 1+-+>-∴n n nn ，即1+>n n u u ，又0ln 11limln 1limlim =-=-=∞→∞→∞→nn nnn u n n n n ，∴由莱布尼兹定理知∑∞=--1ln )1(n nnn 收敛。

再考察正项级数∑∞=-1ln 1n nn ，nnn 1ln 1≥-，而∑∞=11n n发散，∴级数∑∞=-1ln 1n nn 发散。

∴原级数为条件收敛。

3．1函数项级数的一般概念1．解：（1）xnxn x u x u n n n n 11lim)()(lim1=+=∞→+∞→ ，故当11<x，即当1>x 时，级数绝对收敛；当1<x 时，级数发散；而当1=x 时，由于一般项不趋于零，故级数发散。