公式一
公式二
d1v
及：
vt vt (1d)t
及：
v1d
at (1d)t
三、实际利率：每个度量时期内结转一次利息的利率。 名义利率：每个度量时期内多次结转利息的利率。
设年名义利率为i（m），年 实际利率为i。
每次计息的实际利率为 i（m）/m 。
则：
1i(1i(mm))m
m m mm
六、利息力
瞬时利率。度量资本在某一时点上的获利能 力。
1）常数利息力 定义 ：
limi(m) m
。
lim m[1(i)m 1 1] m ln1(i)
第二章 年金
主要内容
年金的定义 年金的类型 年金的现值与终值
一、
a vv2 vn n
一、x分布函数
1、死亡函数
F(x)PX r (x)
(x 0)
又称为0岁的人在 x 岁之前死亡的概率。通常假定
F(0) 0 F()1
且F(x)是一个连续型随机变量。
2、生存函数
s(x)用表示0岁的人在x岁还活着的概率，则：
s(x)PX r(x) x 0
显然：
s(x)1F(x)
n n n
2）期初付年金现值
i
i
1 期初投资 i
则
元，
每年可获得1元
a lim a lim 1vn1 d n n n d
1
期初投资 d 元，则
每年可获得1元
第一章 生命表基础
主要内容：
1、生命状态 2、死亡函数、生存函数 3、余命函数 4、取整余命 5、几种生存函数假设
1 vn i
年初存a入，则每年末可1元 得的 到 n
年金。
。
s 1 (1 i) (1 i)2 (1 i)n 1 n (1i)n 1 i 每年末存入1元，第n年末可得 s n
二、
a 1vv2 vn1 n 1 vn d 或1： da vn n
(1 i) (1 i)2
(1 i)n
(1 i)n 1 d
s n
或： msnma n(1i)mn
4、标准递增型年金
1）期末付 各年末支付如下： 1，2，3，-----，n
现值：
(I)av2v23v3 nnv n
a nvn
(Ia) n
。
s (1 i ) (1 i ) 2 (1 i ) n n (1 i ) n 1 d
三、延期m年的n年期年金
1）期末付延期年金 现值 manvmvm 1 vm n1
vma n
或：
man
a mn
a m
终值
msn 1(1i)(1i)2(1i)n1
n
i
终值
(Is) (1i)n(Ia)
n
n
s n n
i
.
2）期初付 各年初支付如下： 1，2，3，-----，n
现值：
a nvn
(Ia) n
n
d
终值
(Is) (1i)n(Ia )
n
n
s n n
d
5、标准递减型年金
n年期年金 1）期末付
所以：
i(1i(mm))m1
或：
i(m)
1
m[1(i)m1]
四、实际贴现率：每个度量期内贴现一次的贴现率。 名义贴现率：每个度量期内多次贴现的贴现
率。
设年名义贴现率为d(m), 所以：
实际贴现率为d，
则：每次的贴现率为d ( m )
m
d1(1dm (m))m
(1i)n1s
i
n
或：
msnman(1i)mn
2)期初付延期年金 现值 ma nvmvm 1 vm n 1
v m ( 1 v v 2 v n 1 )
vma n
或：
man
a a mn m
。
终值
m
s n
。
S x(t) PT r t( ) 1 F x(t) s(x t) s(x)
表示(x)岁的人活过t年的概率。 （或活过x+t岁的概率）
四、取整余命（K分布函数）
取K(x)=[T(x)]=K k=0,1,2,3-- 表示(x)未来活过的整数年。 取整余命函数
第一章
利息的基本概念
主要内容
累积函数 利息 利率 单利与复利 现值函数 一年计息m次的实际利率与实际贴现率 利息力
一、贴现率与利率
d anan1 (1i)n(1i)n1 i
an
(1i)n
1i
或：
d iv
i

d 1 d
二、))m
d(m)
1
m[1(1d)m]
五、i(m)与d(m) 的关系
1元钱在年末的累积值 为：
(1 i(m) )m 或： m
(1
d(m) m
)m
则：
(1 ) (1 i(m) )m
得：m
d(m) m m
i(m) d(m) i(m) d(m)
现值
a n

n v t dt
0

vt ln v
n 0

1 vn ln v
1 vn

终值
s n (1 i )t dt (1 i )t
n
0
ln( 1 i)
永续年金
n (1 i ) n 1
0

a 1

7、永续年金
1）期末付年金现值

a lim a lim 1vn1
各年末支付如下： n，n-1，n-2，n-3，-----，1
现值：
na
(Da) n
n
i
终值
(D)s(1i)n(D)a
n
n
n(1i)n s

n
i
2) 、期初付
现值：
na
(Da) n
n
d
终值：
(Ds) (1i)n(Da )
n
n
n(1i)n s

n
d
6、连续年金
三、T分布函数（余命函数）
设x岁的人的剩余寿命为T(x),简 写为T。
T(x)XxT
1、（X）的余命函数 （死亡函数）
定义：(x)的人在t年内死亡的概率。
Fx(t)PrT(t) (t0)
F(xt)F(x) 1F(x)
s(x)s(xt) s(x)
2、（X）的生存函数